Empirische Verteilungsfunktion; KS-Teststatistik

• In der Literatur werden verschiedene Tests vorgeschlagen, um die Hypothese $H_0:P=P_0$ zu verifizieren, dass die Verteilung $P$ der unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen $X_1,\ldots,X_n$ gleich einer vorgegebenen Verteilung $P_0$ ist.
• Ein solches Verfahren ist der Kolmogorow-Smirnow-Test, der auf der Untersuchung der in Abschnitt I-1.5 eingeführten empirischen Verteilungsfunktion $\widehat F_n:\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\to[0,1]$ beruht, wobei

  $$\widehat F_n(t;x_1,\ldots,x_n)=\frac{\char93 \{i: 1\le i\le n, x_i\le t\}}{n} .$$ (1)

  
  

• Dabei wird die Stichprobenfunktion $T_n:\mathbb{R}^n\to[0,\infty)$ betrachtet mit

  $$T_n(x_1,\ldots,x_n)=\sqrt{n}\;\sup\limits _{t\in\mathbb{R}}\vert \widehat F_n(t;x_1,\ldots,x_n)-F_0(t)\vert .$$ (2)

  
  

• In Abschnitt I-1.5.3 hatten wir gezeigt, dass die Verteilung der KS-Teststatistik $T_n(X_1,\ldots,X_n)$ nicht von $P_0$ abhängt, wenn vorausgesetzt wird, dass die zu $P_0$ gehörende Verteilungsfunktion $F_0:\mathbb{R}\to[0,1]$ stetig ist, vgl. Theorem I-1.19.
• Sei $s_{n,1-\alpha}$ das $(1-\alpha)$-Quantil der Verteilung von $T_n(X_1,\ldots,X_n)$ unter einer beliebigen stetigen Verteilungsfunktion $F_0$. Der Kolmogorow-Smirnow-Test verwirft die Nullhypothese $H_0:P=P_0$, wenn

  $$T_n(x_1,\ldots,x_n)>s_{n,1-\alpha} .$$ (3)

  
  

Beachte

 

• Die Quantile $s_{n,1-\alpha}$ lassen sich durch Monte-Carlo-Simulation bestimmen, wobei die Verteilungsfunktion $F_0$ der Standard-Gleichverteilung in $[0,1]$ zugrunde gelegt werden kann, vgl. Korollar I-1.3.
• Wenn nicht vorausgesetzt wird, dass $F_0$ stetig ist, dann liefert die in (3) betrachtete Entscheidungsregel einen Test, dessen Niveau kleiner als $\alpha$ sein kann.
• Wenn jedoch das Quantil $s^\prime_{n,1-\alpha}$ von $T_n(X_1,\ldots,X_n)$ unter $F_0$ (beispielsweise durch MC-Simulation) bestimmt werden kann, dann ist durch $T_n(x_1,\ldots,x_n)>s^\prime_{n,1-\alpha}$ auch bei unstetigem $F_0$ ein Test gegeben, der das Niveau $\alpha$ ausschöpft.