$\chi ^2$-Anpassungstest auf Poisson-Verteilung

• Durch die Beobachtung der (unabhängigen und identisch verteilten) Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$ soll geprüft werden, ob die Verteilung $P$ von $X_i$ zur Familie der Poisson-Verteilungen gehört.
  • Sei also $\Theta=(0,\infty)$ mit ${\boldsymbol{\theta}}=\lambda$, und sei $\{P_{\boldsymbol{\theta}},\,{\boldsymbol{\theta}}\in\Theta\}=\{\,{\rm Poi}(\lambda),\,\lambda>0\}$ die Familie der Poisson-Verteilungen.
  • Wir betrachten die folgenden $r$ Klassen $\{0\},\{1\},\ldots,\{r-2\}$ und $\{r-1,r,r+1,\ldots\}$, d.h.
    $$(a_1,b_1]=(-\infty,0],\quad(a_2,b_2]=(0,1],\quad\ldots \quad(a_{r-1},b_{r-1}=(r-3,r-2],\quad(a_r,b_r]=(r-2,\infty) .$$

  • Die Wahrscheinlichkeiten $p_j(\lambda)=\mathbb{P}_\lambda(a_j<X_1\le b_j)$ sind dann gegeben durch

    $$p_j(\lambda)=\frac{\lambda^{j-1}}{(j-1)!}\;e^{-\lambda}\quad\forall j=1,\ldots,r-1 \qquad p_r(\lambda)=\sum\limits_{i=r}^\infty\frac{\lambda^{i-1}}{(i-1)!}\;e^{-\lambda}$$ (80)

    
    

• Gemäß (66) genügt jede Maximum-Likelihood-Schätzung $\widehat\lambda$ für $\lambda$, die aus den gruppierten Daten gewonnen wird, der Gleichung

  $$\sum\limits_{j=1}^r Z_j(x_1,\ldots,x_n)\;\frac{\displaystyle\frac{d}{d\lambda}\; p_j(\lambda)}{p_j(\lambda)}=0 .$$ (81)

  
  
  • Dabei ergibt sich aus (80), dass
    $$\frac{\displaystyle \frac{d}{d\lambda}\; p_j(\lambda)}{p_j(\lambd... ...-1)!}}{\displaystyle \sum\limits_{i=r}^\infty\frac{\lambda^{i-1}}{(i-1)!}} .$$

  • Hieraus und aus (81) folgt, dass die ML-Schätzung $\widehat\lambda$ der folgenden Gleichung genügt:

    $$\sum\limits_{j=1}^{r-1} Z_j(x_1,\ldots,x_n)\;\Bigl(\frac{j-1}{\la... ...)!}}{\displaystyle \sum\limits_{i=r}^\infty\frac{\lambda^{i-1}}{(i-1)!}}\;=0 .$$ (82)

    
    

• Für jedes $n$ gibt es ein $r_0=r_0(n)\in\mathbb{N}$, so dass $Z_r(x_1,\ldots,x_n)=0$ für jedes $r>r_0$. Hieraus und aus (82) folgt, dass für $r\to\infty$
  $$\widehat\lambda_n=\widehat\lambda(x_1,\ldots,x_n)\to\overline x_n=\frac{1}{n}\;\sum\limits_{i=1}^n x_i .$$
  • Bei einer hinreichend großen Anzahl $r$ von Klassen $\{0\}, \{1\}, \ldots, \{r-2\}, \{r-1,r,r+1,\ldots\}$ bildet also das Stichprobenmittel $\overline x_n$, das eine ML-Schätzung für $\lambda$ im ungruppierten Poisson-Modell ist, eine gute Näherung für die ML-Schätzung $\widehat\lambda_n$ für $\lambda$ im gruppierten Poisson-Modell.
  • Die Nullhypothese $H_0: P\in\{ {\rm Poi}(\lambda), \lambda>0\}$ wird somit abgelehnt, wenn
    $$\widehat T_n(x_1,\ldots,x_n)=\sum\limits _{j=1}^r\;\frac{\bigl(Z_... ...\ldots,x_n)\bigr)^2}{n \widehat p_j(x_1,\ldots,x_n)} >\chi^2_{r-2,1-\alpha} ,$$
    wobei $\widehat p_j(x_1,\ldots,x_n)=p_j(\overline x_n)$ mit der in (80) gegebenen Funktion $p_j:(0,\infty)\to[0,1]$ und der Schätzung $\overline x_n$ für $\lambda$.