$\chi ^2$-Anpassungstest auf Normalverteilung

• Sei nun $\Theta=\mathbb{R}\times (0,\infty)$ mit ${\boldsymbol{\theta}}=(\mu,\sigma^2)^\top$, und sei $\{P_{\boldsymbol{\theta}},\,{\boldsymbol{\theta}}\in\Theta\}=\{\,{\rm N}(\mu,\sigma^2),\,\mu\in\mathbb{R},\sigma^2>0\}$ die Familie der (eindimensionalen) Normalverteilungen.
  • Die Wahrscheinlichkeiten $p_j({\boldsymbol{\theta}})=\mathbb{P}_{\boldsymbol{\theta}}(a_j<X_1\le b_j)$ sind dann gegeben durch

    $$p_j({\boldsymbol{\theta}})=\int\limits_{a_j}^{b_j}f(x;{\boldsymbol{\theta}}) dx , \mbox{wobei $\displaystyle f(x;{\boldsymbol{\theta}})=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\Bigl(- \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \Bigr)$.}$$ (83)

    
    

  • Gemäß (66) genügt jede Maximum-Likelihood-Schätzung
    $$\widehat{\boldsymbol{\theta}}(x_1,\ldots,x_n)=(\widehat\mu(x_1,\ldots,x_n), \widehat\sigma^2(x_1,\ldots,x_n))^\top$$
    für ${\boldsymbol{\theta}}=(\mu,\sigma^2)^\top$, die aus den gruppierten Daten gewonnen wird, dem Gleichungssystem

    $$\sum\limits_{j=1}^r Z_j(x_1,\ldots,x_n)\;\frac{\int\limits_{a_j}^... ...dsymbol{\theta}}) dx}{\int\limits_{a_j}^{b_j}f(x;{\boldsymbol{\theta}}) dx}=0 \mbox{für $i=1,2$.}$$ (84)

    
    

  • Dabei ergibt sich aus (83), dass
    $$\frac{\partial}{\partial\mu} f(x;{\boldsymbol{\theta}})=\frac{x-\mu}{\sigma^2}\;f(x;{\boldsymbol{\theta}})$$   bzw.$$\qquad \frac{\partial}{\partial\sigma^2} f(x;{\boldsymbol{\theta}... ...ldsymbol{\theta}})\Bigl((\sigma^2)^{-3/2}+ (\sigma^2)^{-5/2}(x-\mu)^2\Bigr) .$$

• Hieraus und aus (84) folgt, dass die ML-Schätzung $\widehat{\boldsymbol{\theta}}(x_1,\ldots,x_n)$ dem folgenden Gleichungssystem genügt:
  $$\sum\limits_{j=1}^r Z_j(x_1,\ldots,x_n)\;\frac{\int\limits_{a_j}^... ... dx}{\int\limits_{a_j}^{b_j}f(x;{\boldsymbol{\theta}}) dx}\; -n\sigma^2=0 ,$$
  wobei die erste Gleichung dieses Gleichungssystems äquivalent ist mit
  $$\sum\limits_{j=1}^r Z_j(x_1,\ldots,x_n)\;\frac{\int\limits_{a_j}^... ...;{\boldsymbol{\theta}}) dx}\;-\mu\sum\limits_{j=1}^r Z_j(x_1,\ldots,x_n)=0 .$$

• Die ML-Schätzung $\widehat{\boldsymbol{\theta}}(x_1,\ldots,x_n)=(\widehat\mu(x_1,\ldots,x_n), \widehat\sigma^2(x_1,\ldots,x_n))^\top$ genügt deshalb dem Gleichungssystem
  $$\mu=\frac{1}{n}\;\sum\limits_{j=1}^r Z_j(x_1,\ldots,x_n)\frac{\in... ...mu)^2 f(x;\mu,\sigma^2) dx}{\int\limits_{a_j}^{b_j} f(x;\mu,\sigma^2) dx} ,$$
  • das sich bei einer hinreichend großen Anzahl $r$ von Klassen $(a_1,b_1],\ldots,(a_r,b_r]$ wie folgt näherungsweise lösen lässt:

    $$\widehat\mu\approx \frac{1}{n}\;\sum\limits_{j=1}^r c_jZ_j(x_1,\l... ...rox \frac{1}{n}\;\sum\limits_{j=1}^r (c_j-\widehat\mu)^2 Z_j(x_1,\ldots,x_n) ,$$ (85)

    
    

  • wobei $c_1=b_1$, $c_r=b_{r-1}$ der rechte bzw. linke Endpunkt der ersten bzw. $r$-ten Klasse und $c_j=(b_{j-1}+b_j)/2$ die Klassenmittelpunkte für $j=2,\ldots,r-1$ sind.
• Die Nullhypothese $H_0: P\in\{ {\rm N}(\mu,\sigma^2), \mu\in\mathbb{R},\sigma^2>0\}$ wird abgelehnt, wenn
  $$\widehat T_n(x_1,\ldots,x_n)=\sum\limits _{j=1}^r\;\frac{\bigl(Z_... ...\ldots,x_n)\bigr)^2}{n \widehat p_j(x_1,\ldots,x_n)} >\chi^2_{r-3,1-\alpha} ,$$
  wobei $\widehat p_j(x_1,\ldots,x_n)=p_j(\widehat\mu,\widehat\sigma^2)$ mit der in (83)) gegebenen Funktion $p_j:\mathbb{R}\times(0,\infty)\to[0,1]$ und der in (85) gegebenen Schätzung $(\widehat\mu,\widehat\sigma^2)$ für $(\mu,\sigma^2)$.

Beachte

 

• Die Näherungslösung (85) des Gleichungssystems (84) sollte nur dann verwendet werden, wenn die Anzahl $r$ der Klassen hinreichend groß ist.
  • Dies setzt einen hinreichend großen Stichprobenumfang $n$ voraus.
  • Mit anderen Worten: Wenn der Stichprobenumfang $n$ klein ist, dann ist der $\chi ^2$-Anpassungstest auch aus diesem Grund nicht geeignet, um die Hypothese der Normalverteiltheit zu verifizieren.
• Alternative Tests auf Normalverteilung sind die folgenden Anpassungstests vom Shapiro-Wilk-Typ, die auch bei kleinem Stichprobenumfang $n$ zu akzeptablen Ergebnissen führen.