Anpassungstests vom Shapiro-Wilk-Typ

• In diesem Abschnitt diskutieren wir zwei Anpassungstests vom Shapiro-Wilk-Typ, mit denen ebenfalls die Hypothese $H_0: P\in\{ {\rm N}(\mu,\sigma^2), \mu\in\mathbb{R},\sigma^2>0\}$ verifiziert werden kann.
• Hierfür werden die Ordnungsstatistiken $X_{(1)},\ldots,X_{(n)}$ der (unabhängigen und identisch verteilten) Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$ betrachtet, die bereits in Abschnitt I-1.4 eingeführt worden sind.
  • Zur Erinnerung: Die Ordnungsstatistiken werden mit Hilfe der Stichprobenfunktion $\varphi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ definiert, wobei

    $$(x_1,\ldots,x_n)\to(x_{(1)},\ldots,x_{(n)})=\varphi(x_1,\ldots,x_n) \mbox{mit $x_{(i)}=\min\bigl\{x_j:\char93 \{k:x_k\le x_j\}\ge i\bigr\}$}$$ (86)

    
    
    für jedes $i\in\{1,\ldots,n\}$.
  • Dabei ist die in (86) gegebene Abbildung $\varphi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ ist eine Permutation der Komponenten des Vektors $(x_1,\ldots,x_n)$, so dass
    $$x_{(1)}\le x_{(2)}\le\ldots\le x_{(n)} .$$

  • Für jedes $\omega\in\Omega$ sei dann
    $$(X_{(1)}(\omega),\ldots,X_{(n)}(\omega))=\varphi\bigl(X_1(\omega),\ldots,X_n(\omega)\bigr)$$
    die in (86) gegebene (messbare) Permutation von $(X_{1}(\omega),\ldots,X_{n}(\omega))$, so dass

    $$X_{(1)}(\omega)\le\ldots\le X_{(n)}(\omega) .$$ (87)

    
    

  • Die auf diese Weise definierten Zufallsvariablen $X_{(1)},\ldots,X_{(n)}:\Omega\to\mathbb{R}$ heißen die Ordnungsstatistiken von $(X_1,\ldots,X_n)$.
• Wenn $X_i\sim{\rm N}(\mu,\sigma^2)$ für gewisse $\mu\in\mathbb{R}$ und $\sigma^2>0$, dann kann man sich leicht überlegen, dass für die Erwartungswerte $b_i={\mathbb{E} }X_{(i)}$ der Ordnungsstatisiken $X_{(i)}$ die folgende Darstellungsformel gilt:

  $$b_i=\mu+\sigma a_i\qquad\forall i=1,\ldots,n ,$$ (88)

  
  
  • wobei $a_i$ der Erwartungswert der $i$-ten Ordnungsstatistik bei N$(0,1)$-verteilten Stichprobenvariablen ist.
  • Der Nutzen der Darstellungsformel (88) besteht darin, dass die Erwartungswerte $a_1,\ldots,a_n$ in Form von Tabellen vorliegen bzw. durch Monte-Carlo-Simulation bestimmt werden können.
• Weil sich die Vektoren $(b_1,\ldots,b_n)$ und $(X_{(1)},\ldots, X_{(n)})$ unter $H_0$ nur relativ wenig voneinander unterscheiden sollten, wird zur Verifizierung der Nullhypothese $H_0: P\in\{ {\rm N}(\mu,\sigma^2), \mu\in\mathbb{R},\sigma^2>0\}$ der folgende empirische Korrelationskoeffizient betrachtet:

  $$\widetilde T(X_1,\ldots,X_n)=\frac{\sum\limits_{i=1}^n\bigl(b_i-\... ...\overline b)^2} \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n\bigl(X_{(i)}-\overline X\bigr)^2}}\;,$$ (89)

  
  
  wobei $\overline b=\sum_{i=1}^n b_i/n$ und $\overline X=\sum_{i=1}^n X_i/n$.

1. Shapiro-Francia-Test
   • Weil Korrelationskoeffizienten invariant gegenüber Lineartransformationen sind, können wir in (89) die $b_i$'s durch die $a_i$'s ersetzen, wobei dann $\overline a=\sum_{i=1}^n a_i/n=0$.
   • Außerdem gilt
     $$\sum\limits_{i=1}^n\bigl(X_{(i)}-\overline X\bigr)^2=\sum\limits_{i=1}^n\bigl(X_i-\overline X\bigr)^2$$   und$$\qquad \sum\limits_{i=1}^n a_i\overline X=0 ,$$
     d.h., die Definitionsgleichung (89) von $\widetilde T(X_1,\ldots,X_n)$ ist äquivalent mit

     $$\widetilde T(X_1,\ldots,X_n)=\frac{\sum\limits_{i=1}^n a_i X_{(i)... ...mits_{i=1}^n a_i^2} \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n\bigl(X_i-\overline X\bigr)^2}}\;.$$ (90)

     
     

   • Weil stets $\vert\widetilde T(X_1,\ldots,X_n)\vert\le 1$ gilt, wird $H_0$ abgelehnt, wenn $\widetilde T(X_1,\ldots,X_n)<q_{n,1-\alpha}$, wobei $q_{n,1-\alpha}$ das $(1-\alpha)$-Quantil der Verteilung von $\widetilde T(X_1,\ldots,X_n)$ bezeichnet.
   • Das ist der sogenannte Shapiro-Francia-Test auf Normalverteilung, wobei die Quantile $q_{n,1-\alpha}$ der Verteilung von $\widetilde T(X_1,\ldots,X_n)$ entweder aus Tabellen entnommen oder per Monte-Carlo-Simulation bestimmt werden können.

   
   

2. Shapiro-Wilk-Test
   • Anstelle der Konstanten $a_1,\ldots,a_n$ kann in (90) die Lineartransformation
     $$(a_1^\prime,\ldots,a_n^\prime)^\top={\mathbf{K}}^{-1}(a_1,\ldots,a_n)^\top$$
     betrachtet werden, wobei die Kovarianzmatrix ${\mathbf{K}}=(k_{ij})$ gegeben ist durch
     $$k_{ij}={\mathbb{E} }\bigl((Y_{(i)}-a_i)(Y_{(j)}-a_j)\bigr)$$   $$\mbox{mit $Y_i\sim {\rm N}(0,1).$}$$$$$$

   • Der auf diese Weise konstruierte Test wird Shapiro-Wilk-Test genannt.