Asymptotische Verteilung

• Wenn der Stichprobenumfang $n$ groß ist, dann ist die direkte Bestimmung der Quantile $t_{\alpha/2}$ und $t_{1-\alpha/2}$ mit Hilfe von Theorem 6.3 schwierig.
  • Ein anderer Zugang zur (näherungsweisen) Bestimmung der Verteilung der Teststatistik $T^+_n$ beruht auf der Darstellungsformel (14).
  • Dabei wird die Tatsache genutzt, dass $T^+_n=\sum_{i=1}^n i Z_i$ wegen Lemma 6.1 eine Summe von unabhängigen Zufallsvariablen ist.
  • Und zwar kann mit Hilfe eines zentralen Grenzwertsatzes für Summen von unabhängigen (jedoch nicht notwendig identisch verteilten) Zufallsvariablen gezeigt werden, dass $T^+_n$ asymptotisch normalverteilt ist.
• Hierfür betrachten wir das folgende stochastische Modell: Für jedes $n\ge 1$ sei $X_{n1},\ldots,X_{nn}:\Omega\to\mathbb{R}$ eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen,
  • wobei wir (o.B.d.A.) voraussetzen, dass für jedes $k\in\{1,\ldots,n\}$

    $${\mathbb{E} }X_{nk}=0 ,\qquad0<\sigma_{nk}^2={\rm Var } X_{nk}<\infty \qquad \sum\limits_{k=1}^n\sigma_{nk}^2=1 .$$ (19)

    
    

  • Wenn die Zufallsvariablen $X_{n1},\ldots,X_{nn}$ die in (19) formulierten Bedingungen nicht erfüllen, dann gehen wir zu den transformierten Zufallsvariablen $X_{n1}^\prime,\ldots,X_{nn}^\prime$ über mit

    $$X_{nk}^\prime=\frac{X_{nk}-{\mathbb{E} }X_{nk}}{\sqrt{n{\rm Var }X_{nk}}} .$$ (20)

    
    

  • Die Verteilungsfunktion von $X_{nk}$ bezeichnen wir mit $F_{nk}$, wobei nicht ausgeschlossen wird, dass $F_{nk}$ für jedes $k\in\{1,\ldots,n\}$ auch von der Anzahl $n$ der insgesamt betrachteten Zufallsvariablen $X_{n1},\ldots,X_{nn}$ abhängen kann.

Der folgende zentrale Grenzwertsatz von Lindeberg (vgl.Theorem WR-5.22) bildet die Grundlage, um zu zeigen, dass $T^+_n$ asymptotisch normalverteilt ist.

Lemma 6.2    

• Für jedes $n\in\mathbb{N}$ sei $X_{n1},\ldots,X_{nn}:\Omega\to\mathbb{R}$ eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen, die den Bedingungen $(\ref{ohn.ein.der})$ genügen.
• Wenn außerdem für jedes $\varepsilon >0$

  $$\lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{k=1}^n\; \int_{\mathbb{R}\setminus(-\varepsilon,\varepsilon)} x^2 dF_{nk}(x) =0 ,$$ (21)

  
  
  dann gilt für jedes $x\in\mathbb{R}$

  $$\lim\limits _{n\to\infty}P\bigl(X_{n1}+\ldots+X_{nn} \le x\bigr)=\Phi(x) ,$$ (22)

  
  
  wobei $\Phi:\mathbb{R}\to[0,1]$ die Verteilungsfunktion der N$(0,1)$-Verteilung ist.

Theorem 6.4   $\;$ Unter $H_0: \delta=0$ gilt

$$\lim\limits_{n\to\infty}\;\mathbb{P}\Bigl(\frac{T^+_n-{\mathbb{E}... ...qrt{{\rm Var }T^+_n}}\;\le x\Bigr)\;=\;\Phi(x)\qquad\forall x\in\mathbb{R} .$$ (23)

Beweis

 

• Wegen (14) genügt es zu zeigen, dass die Zufallsvariablen $X_{n1},\ldots,X_{nn}$ mit

  $$X_{nk}=\frac{kZ_k-k {\mathbb{E} }Z_k }{\sqrt{{\rm Var }T^+_n}}$$ (24)

  
  
  den Bedingungen von Lemma 6.2 genügen.
  • Dabei ergibt sich das Erfülltsein von (19) unmittelbar aus der Definitionsgleichung (24).
  • Es muss also lediglich noch gezeigt werden, dass die Lindeberg-Bedingung (22) erfüllt ist.
• Mit Hilfe von Lemma 6.1 ergibt sich für die Verteilungsfunktion $F_{nk}:\mathbb{R}\to[0,1]$ der in (24) eingeführten Zufallsvariablen $X_{nk}$, dass
  $$F_{nk}(x)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle 0 , & \mbox{wenn... ...displaystyle \frac{k}{2\sqrt{{\rm Var }T^+_n}}\;\le x $.} \end{array}\right.$$
  • Hieraus folgt, dass $\int_{\mathbb{R}\setminus(-\varepsilon,\varepsilon)} x^2 dF_{nk}(x)=0$ für jedes $k\in\{1,\ldots,n\}$, wenn $n$ so gewählt wird, dass
    $$\frac{n^2}{4{\rm Var }T^+_n}\;=\;\frac{6 n^2}{n(n+1)(2n+1)}\;<\;\varepsilon^2 ,$$
    wobei sich die letzte Gleichheit aus der Formel für ${\rm Var }T^+_n$ in Theorem 6.3 ergibt.
  • Damit ist die Gültigkeit der Lindeberg-Bedingung (22) gezeigt.
    
    $\Box$

Beachte

 

• Wegen Theorem 6.4 wird bei dem (zweiseitigen) Testproblem $H_0: \delta=0$ vs. $H_1: \delta\not=0$ der folgenden kritische Bereich betrachtet.
• Bei hinreichend großem $n$ wird $H_0: \delta=0$ abgelehnt, wenn

  $$\Bigl\vert \frac{T^+_n-{\mathbb{E} }T^+_n}{\sqrt{{\rm Var }T^+_n}} \Bigr\vert \ge z_{1-\alpha/2} ,$$ (25)

  
  
  wobei ${\mathbb{E} }T^+_n$ bzw. ${\rm Var }T^+_n$ in Theorem 6.3 gegeben sind und $z_{1-\alpha/2}$ das $(1-\alpha/2)$-Quantil der N$(0,1)$-Verteilung ist.
• Als ein mögliches Kriterium für ,,hinreichend groß'' wird dabei in der Literatur die Bedingung $n\ge 20$ angegeben.