Verteilung der Teststatistik $T^+_n$ für kleine Stichprobenumfänge

• Wenn der Stichprobenumfang $n$ nicht zu groß ist, dann lassen sich die Quantile $t_{\alpha/2}$ und $t_{1-\alpha/2}$ in (13) durch kombinatorische Überlegungen bestimmen.
  • Wegen (10) ist der Zufallsvektor ${\mathbf{R}}=(R_1,\ldots,R_n)$ der Ränge $R_1,\ldots,R_n$ von $\vert X_1\vert,\ldots,\vert X_n\vert$ eine (zufällige) Permutation der Zahlen $1,\ldots,n$.
  • Dabei lässt sich die in (11) gegebene Testgröße $T^+_n$ wie folgt darstellen:

    $$T^+_n=\sum\limits_{i=1}^n i Z_i , \mbox{wobei $Z_i={\bf 1}_{\{X_{R^{-1}_i}>0\}}$}$$ (14)

    
    

  • und ${\mathbf{R}}^{-1}=(R_1^{-1},\ldots,R_n^{-1})$ die zu ${\mathbf{R}}$ inverse Permutation bezeichnet, d.h., wenn $R_i=j$, dann gilt $R_j^{-1}=i$.
• Außerdem ist der folgende Hilfssatz nützlich, um die Verteilung von $T^+_n$ zu bestimmen.

Lemma 6.1   $\;$ Unter $H_0: \delta=0$ gilt:

• Die Zufallsvektoren $\bigl({\bf 1}_{\{X_1>0\}},\ldots,{\bf 1}_{\{X_n>0\}}\bigr)$ und ${\mathbf{R}}=(R_1,\ldots,R_n)$ sind unabhängig.
• Die Komponenten $Z_1,\ldots,Z_n$ von $(Z_1,\ldots,Z_n)$ sind unabhängig und identisch verteilt mit $Z_i\sim {\rm Bin}(1,1/2)$.

Beweis

 

• Wir zeigen zunächst, dass die Zufallsvariablen ${\bf 1}_{\{X_i>0\}}$ und $\vert X_i\vert$ für jedes $i=1,\ldots,n$ unabhängig sind.
  • Für jedes $x\ge 0$ gilt
    $$\mathbb{P}\bigl({\bf 1}_{\{X_i>0\}}=1, \vert X_i\vert\le x\bigr) \;=\; \mathbb{P}\bigl(0<X_i\le x\bigr)\;=\; G(x)-\;\frac{1}{2}\;.$$
    und
    $$\mathbb{P}\bigl({\bf 1}_{\{X_i>0\}}=1\bigr) \mathbb{P}\bigl(\ver... ...)\bigr)\;=\; \frac{1}{2}\;\bigl(G(x)-(1-G(x))\bigr)\;=\; G(x)-\;\frac{1}{2}\;.$$

  • Außerdem gilt offenbar für jedes $x<0$
    $$\mathbb{P}\bigl({\bf 1}_{\{X_i>0\}}=1, \vert X_i\vert\le x\bigr)... ...bigl({\bf 1}_{\{X_i>0\}}=1\bigr) \mathbb{P}\bigl(\vert X_i\vert\le x\bigr) .$$

  • Auf die gleiche Weise lässt sich zeigen, dass für jedes $x\in\mathbb{R}$
    $$\mathbb{P}\bigl({\bf 1}_{\{X_i>0\}}=0, \vert X_i\vert\le x\bigr)... ...bigl({\bf 1}_{\{X_i>0\}}=0\bigr) \mathbb{P}\bigl(\vert X_i\vert\le x\bigr) .$$

• Weil aus der Unabhängigkeit der Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$ folgt, dass die Zufallsvektoren $\bigl({\bf 1}_{\{X_1>0\}}, \vert X_1\vert\bigr),\ldots,\bigl({\bf 1}_{\{X_n>0\}}, \vert X_n\vert\bigr)$ unabhängig sind,
  • ergibt sich nun insgesamt, dass $\bigl({\bf 1}_{\{X_1>0\}},\ldots,{\bf 1}_{\{X_n>0\}}\bigr)$ und $\bigl(\vert X_1\vert,\ldots,\vert X_n\vert\bigr)$ unabhängige Zufallsvektoren sind.
  • Weil ${\mathbf{R}}=(R_1,\ldots,R_n)$ eine Borel-messbare Funktion von $\bigl(\vert X_1\vert,\ldots,\vert X_n\vert\bigr)$ ist, sind damit auch die Zufallsvektoren $\bigl({\bf 1}_{\{X_1>0\}},\ldots,{\bf 1}_{\{X_n>0\}}\bigr)$ und ${\mathbf{R}}$ unabhängig.
• Hieraus folgt, dass für beliebige $i\in\{1,\ldots,n\}$ und $z\in\{0,1\}$
  

  $$\mathbb{P}(Z_i=z) = \mathbb{P}\bigl({\bf 1}_{\{X_{R^{-1}_i}>0\}}=z\bigr)$$

  $$= \sum\limits_{{\mathbf{r}}} \mathbb{P}\bigl({\bf 1}_{\{X_{R^{-1}_i... ...}=z\mid {\mathbf{R}}={\mathbf{r}}\bigr)\; \mathbb{P}({\mathbf{R}}={\mathbf{r}})$$

  $$= \sum\limits_{{\mathbf{r}}} \mathbb{P}\bigl({\bf 1}_{\{X_{r^{-1}_i... ...}=z\mid {\mathbf{R}}={\mathbf{r}}\bigr)\; \mathbb{P}({\mathbf{R}}={\mathbf{r}})$$

  $$= \sum\limits_{{\mathbf{r}}} \mathbb{P}\bigl({\bf 1}_{\{X_{r^{-1}_i... ...imits_{{\mathbf{r}}} \mathbb{P}({\mathbf{R}}={\mathbf{r}})\;=\;= \frac{1}{2}\;,$$

  
  
  wobei sich die Summation über alle Permutationen ${\mathbf{r}}=(r_1,\ldots,r_n)$ der Zahlen $1,\ldots,n$ erstreckt.
• Damit ergibt sich, dass für beliebige ${\mathbf{z}}=(z_1,\ldots,z_n)\in\{0,1\}^n$
  

  $$\mathbb{P}\bigl(Z_1=z_1,\ldots,Z_n=z_n \bigr) = \mathbb{P}\bigl({\bf 1}_{\{X_{R^{-1}_1}>0\}}=z_1,\ldots,{\bf 1}_{\{X_{R^{-1}_n}>0\}}=z_n \bigr)$$

  $$= \sum\limits_{{\mathbf{r}}} \mathbb{P}\bigl({\bf 1}_{\{X_{R^{-1}_1... ...\mathbf{R}}={\mathbf{r}}\bigr)\;\mathbb{P}\bigl({\mathbf{R}}={\mathbf{r}}\bigr)$$

  $$= \sum\limits_{{\mathbf{r}}} \mathbb{P}\bigl({\bf 1}_{\{X_{r^{-1}_1... ...\mathbf{R}}={\mathbf{r}}\bigr)\;\mathbb{P}\bigl({\mathbf{R}}={\mathbf{r}}\bigr)$$

  $$= \sum\limits_{{\mathbf{r}}} \mathbb{P}\bigl({\bf 1}_{\{X_1>0\}}=z_... ...\mathbf{R}}={\mathbf{r}}\bigr)\;\mathbb{P}\bigl({\mathbf{R}}={\mathbf{r}}\bigr)$$

  $$= \sum\limits_{{\mathbf{r}}} \mathbb{P}\bigl({\bf 1}_{\{X_1>0\}}=z_... ... 1}_{\{X_n>0\}}=z_{r_n} \bigr)\;\mathbb{P}\bigl({\mathbf{R}}={\mathbf{r}}\bigr)$$

  $$= \frac{1}{2^n}\;=\;\mathbb{P}(Z_1=z_1) \ldots \mathbb{P}(Z_n=z_n) \;.$$

  
  
  
   
    $\Box$
  
  
  

Theorem 6.3   $\;$ Unter $H_0: \delta=0$ ist die Verteilung von $T^+_n$ gegeben durch

$$\mathbb{P}(T^+_n=k)\;=\; \frac{a_k}{2^n}\qquad\forall k=0,1,\ldots,n ,$$ (15)

wobei

$$a_k=\char93 \Bigl\{{\mathbf{z}}=(z_1,\ldots,z_n)\in\{0,1\}^n: \sum\limits_{i=1}^n i z_i=k\Bigr\} .$$ (16)

Außerdem gilt dann

$${\mathbb{E} }T^+_n\;=\; \frac{n(n+1)}{4} \qquad {\rm Var } T^+_n\;=\; \frac{n(n+1)(2n+1)}{24}\;.$$ (17)

Beweis

 

• Aus der Darstellungsformel (14) für $T^+_n$ und aus Lemma 6.1 ergibt sich, dass für jedes $k=0,1,\ldots,n$
  

  $$\mathbb{P}(T^+_n=k) = \mathbb{P}\Bigl(\sum\limits_{i=1}^n i Z_i=k\Bigr) \; =\; \sum\li... ...}^n i z_i=k}\mathbb{P}\bigl(Z_1=z_1,\ldots,Z_n=z_n\bigr)\;=\;\frac{a_k}{2^n}\;.$$

  
  

• Außerdem ergibt sich auf diese Weise, dass
  $${\mathbb{E} }T^+_n\;=\; {\mathbb{E} }\Bigl(\sum\limits_{i=1}^n ... ...^n i\;{\mathbb{E} }Z_i\;=\; \frac{1}{2}\;{n+1\choose 2}\;=\; \frac{n(n+1)}{4}$$
  und
  $${\rm Var }T^+_n\;=\; {\rm Var }\Bigl(\sum\limits_{i=1}^n i Z_i... ...}Z_i\;=\; \frac{1}{4}\; \sum\limits_{i=1}^n i^2\;=\;\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}\;.$$
  
   
    $\Box$
  
  
  

Beachte

 

• Aus (12) und (14) ergibt sich darüber hinaus mit Hilfe von Lemma 6.1, dass
  $$T^-_n\;=\; {n+1\choose 2}- T^+_n\;=\; {n+1\choose 2}- \sum\limits... ... i (1-Z_i)\;\stackrel{{\rm d}}{=}\; \sum\limits_{i=1}^n i Z_i \;=\; T^+_n ,$$
  d.h., unter $H_0: \delta=0$ gilt

  $$T^-_n \;\stackrel{{\rm d} }{=}\; T^+_n .$$ (18)

  
  

• Somit ergibt sich aus (12), dass für jedes $k=0,1,\ldots,n$
  $$\mathbb{P}\bigl(T^+_n=k\bigr)\;=\; \mathbb{P}\Bigl(T^-_n=\frac{n(n+1)}{2}-k\Bigr)\;=\;\mathbb{P}\Bigl(T^+_n=\frac{n(n+1)}{2}-k\Bigr) ,$$
  d.h., die Verteilung von $T^+_n$ ist symmetrisch bezüglich des Erwartungswertes ${\mathbb{E}\,}T^+_n=n(n+1)/4$.
• Dies bedeutet, dass auch die Quantile $t_{\alpha,n} = \max\{t\in\mathbb{R}: \mathbb{P}(T^+_n\le t)\le\alpha\}$ diese Symmetrieeigenschaft besitzen, d.h., für jedes $\alpha\in(0,1)$ gilt
  $$t_{\alpha,n}\;=\;\frac{n(n+1)}{2}\;-t_{1-\alpha,n} .$$

• Die Quantile $t_{\alpha,n}$ können entweder aus Tabellen entnommen oder per Monte-Carlo-Simulation bestimmt werden.