Rangsummentest von Wilcoxon für Lagealternativen

• Wir diskutieren nun einen weiteren nichtparametrischen Test für den Fall, dass zwei unabhängige Zufallsstichproben $(X_1,\ldots,X_{n_1})$ und $(Y_1,\ldots,Y_{n_2})$ beobachtet werden.
• Dabei werden jedoch jetzt speziellere Alternativen als in (26) - (28) betrachtet.
  • Wir nehmen an, dass die Zufallsvariablen $X_1,\ldots,X_{n_1}$ und $Y_1,\ldots,Y_{n_2}$ vollständig unabhängig sind mit den (unbekannten) stetigen Verteilungsfunktionen $F$ bzw. $G$.
  • Ähnlich wie in Abschnitt 6.2 wird vorausgesetzt, dass es ein $\delta\in\mathbb{R}$ gibt, so dass
    $$F(x)=G(x+\delta) \qquad\forall x\in\mathbb{R} .$$

  • Ein (zweiseitiges) Testproblem, das dem oben erwähnten, allgemeineren Testproblem (26) entspricht, ist dann gegeben durch

    $$H_0: \delta=0 \qquad H_1: \delta\not=0 .$$ (30)

    
    

  • Als einseitige Alternativen zu $H_0: \delta=0$ können die folgenden Hypothesen betrachtet werden:

    $$H_1: \delta>0 \qquad H_1: \delta<0 .$$ (31)

    
    

• Genauso wie in Abschnitt 6.3.1 vereinigen wir die Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_{n_1}$ und $Y_1,\ldots,Y_{n_2}$ zu einer kombinierten Zufallsstichprobe $(X_1^\prime,\ldots,X_n^\prime)=(X_1,\ldots,X_{n_1},Y_1,\ldots,Y_{n_2})$, wobei $n=n_1+n_2$.
  • Außerdem betrachten wir den (Zufalls-) Vektor der Ränge ${\mathbf{R}}^\prime=(R_1^\prime,\ldots,R_n^\prime)$ der Stichprobenvariablen $X_1^\prime,\ldots,X_n^\prime$ in der kombinierten Stichprobe, wobei
    $$R^\prime_i=\sum\limits_{j=1}^n {\bf 1}_{\{X^\prime_j\le X_i^\prime\}}\qquad\forall i=1,\ldots,n .$$

  • So wie in Abschnitt 6.3.1 ist unter $H_0: \delta=0$ zu erwarten, dass die $X_i$'s und $Y_j$'s in der kombinierten Stichprobe $(X_{(1)}^\prime,\ldots,X_{(n)}^\prime)$ ,,gut gemischt'' sind, weil dann die Stichprobenvariablen $X_{(1)}^\prime,\ldots,X_{(n)}^\prime$ unabhängig und identisch verteilt sind.
  • Daher wird $H_0$ bei dem zweiseitigen Testproblem in (30) abgelehnt, wenn die Rangsumme

    $$T_{n_1,n_2}=\sum\limits_{i=1}^{n_1} R^\prime_i$$ (32)

    
    
    ,,zu klein'' oder ,,zu groß'' ist.
• Um den Test praktisch durchführen zu können, muss die Verteilung der in (32) eingeführten Teststatistik $T_{n_1,n_2}$ bestimmt werden. Hierfür ist der folgende Hilfssatz nützlich.

Lemma 6.3    

• Sei $X:\Omega\to\{\ldots,-1,0,1,\ldots\}$ eine diskrete Zufallsvariable, so dass ${\mathbb{E} }\vert X\vert<\infty$ und dass für ein $\mu\in\mathbb{R}$ die folgende Symmetrieeigenschaft erfüllt ist:

  $$\mathbb{P}(X=\mu-k)=\mathbb{P}(X=\mu+k)\qquad\forall k\in\{\ldots,-1,0,1,\ldots\} .$$ (33)

  
  

• Dann gilt ${\mathbb{E} }X=\mu$.

Beweis

 

• Wir können o.B.d.A. annehmen, dass $\mu=0$, weil ansonsten die transformierte Zufallsvariable $X^\prime=X-\mu$ betraxchtet werden kann.
• Dann ergibt sich aus (33) mit $\mu=0$, dass
  $${\mathbb{E}\,}X= \sum\limits_{k=-\in... ...its_{k=1}^\infty\;k\,\mathbb{P}(X=k) \;\stackrel{(\ref{sym.bed.sym})}{=}\;0\,.$$
  
   
    $\Box$
  
  
  

Theorem 6.5    

• Unter $H_0: \delta=0$ ist die Verteilung von $T_{n_1,n_2}$ gegeben durch

  $$\mathbb{P}(T_{n_1,n_2}=k)\;=\; \frac{a_{k,n_1,n_2}}{\displaystyle... ...}\qquad\forall k= \frac{n_1(n_1+1)}{2},\ldots,n_1n_2+\;\frac{n_1(n_1+1)}{2} ,$$ (34)

  
  
  wobei

  $$a_{k,n_1,n_2}=\char93 \Bigl\{{\mathbf{z}}=(z_1,\ldots,z_{n_1+n_2}... ..._2}: \char93 \{i:z_i=1\}=n_1, \sum\limits_{i=1}^{n_1+n_2} i z_i=k\Bigr\} .$$ (35)

  
  

• Außerdem gilt dann

  $$\mathbb{P}(T_{n_1,n_2}=k)\;=\;\mathbb{P}(T_{n_1,n_2}=2\mu-k)\qquad\forall k\in\{\ldots,-1,0,1,\ldots\}$$ (36)

  
  
  und somit

  $${\mathbb{E} }T_{n_1,n_2}=\mu ,$$ (37)

  
  
  wobei $\mu=n_1(n_1+n_2+1)/2$.

Beweis

 

• Unter $H_0: \delta=0$ sind die Stichprobenvariablen $X_1^\prime,\ldots,X_{n_1+n_2}^\prime$ unabhängig und identisch verteilt.
  • Somit hat jede der ${n_1+n_2\choose n_1}$ Aufteilungen der $n_1$ Variablen $X_1,\ldots,X_{n_1}$ auf die $n_1+n_2$ insgesamt vorhandenen Rangplätze die gleiche Wahrscheinlichkeit.
  • Außerdem gilt für den Minimal- bzw. Maximalwert $t_{\min}$ bzw. $t_{\max}$ von $T_{n_1,n_2}$, dass
    $$t_{\min}=\sum\limits_{i=1}^{n_1}i\;=\;\frac{n_1(n_1+1)}{2}$$   und$$\qquad t_{\max}=\sum\limits_{i=n_2+1}^{n_2+n_1}i\;=\;n_1n_2\;+\;\frac{n_1(n_1+1)}{2}\;.$$

  • Hieraus ergibt sich die Gültigkeit von (34) - (35).
• Um (36) zu beweisen, nutzen wir die folgende Symmetrieeigenschaft.
  • Jedem ${\mathbf{z}}=(z_1,\ldots,z_{n_1+n_2})\in\{0,1\}^{n_1+n_2}$ mit
    $$\char93 \{i:z_i=1\}=n_1$$   und$$\qquad\sum\limits_{i=1}^{n_1+n_2} i z_i=k$$
    entspricht ein $\widetilde{\mathbf{z}}=(\widetilde z_1,\ldots,\widetilde z_{n_1+n_2})\in\{0,1\}^{n_1+n_2}$ mit
    $$\char93 \{i:\widetilde z_{n_1+n_2+1-i}=1\}=n_1$$   und$$\qquad\sum\limits_{i=1}^{n_1+n_2} (n_1+n_2+1-i) \widetilde z_i=n_1(n_1+n_2+1)-k .$$

  • Weil die Stichprobenvariablen $X_{(1)}^\prime,\ldots,X_{(n)}^\prime$ unabhängig und identisch verteilt sind, ergibt sich somit, dass für jedes $k\in\{\ldots,-1,0,1,\ldots\}$

    $$\mathbb{P}(T_{n_1,n_2}=k)=\mathbb{P}(T_{n_1,n_2}=n_1(n_1+n_2+1)-k)=\mathbb{P}(T_{n_1,n_2}=2\mu-k) ,$$ (38)

    
    
    wobei $2\mu=n_1(n_1+n_2+1)$.
• Um (37) zu zeigen, genügt es in (38) die Substitution $k=\mu-i$ einzusetzen.
  • Dann ergibt sich aus (38), dass
    $$\mathbb{P}(T_{n_1,n_2}=\mu-i)=\mathbb{P}(T_{n_1,n_2}=\mu+i)\qquad\forall i\in\{\ldots,-1,0,1,\ldots\} .$$

  • Hieraus und aus Lemma 6.3 folgt die Gültigkeit von (37).
    
    $\Box$

Beachte

 

• Aus (38) ergibt sich die folgende Symmetrieeigenschaft für die Quantile $t_{\alpha,n_1,n_2}$ von $T_{n_1,n_2}$.
  • Für jedes $\alpha\in(0,1)$ gilt
    $$t_{\alpha,n_1,n_2}\;=\;n_1(n_1+n_2+1)-t_{1-\alpha,n_1,n_2} .$$

  • Die Quantile $t_{\alpha,n_1,n_2}$ können entweder aus Tabellen entnommen oder per Monte-Carlo-Simulation bestimmt werden.
• Die Nullhypothese $H_0: \delta=0$ wird zugunsten von $H_1: \delta\not=0$ abgelehnt, wenn
  $$T_{n_1,n_2}\le t_{\alpha/2,n_1,n_2}$$   oder$$\qquad T_{n_1,n_2}\ge n_1(n_1+n_2+1)-t_{\alpha/2,n_1,n_2} .$$

• Analog wird die Nullhypothese $H_0: \delta=0$ zugunsten von $H_1: \delta>0$ bzw. $H_1: \delta<0$ abgelehnt, wenn
  $$T_{n_1,n_2}\ge n_1(n_1+n_2+1)-t_{\alpha,n_1,n_2}$$   bzw.$$\qquad T_{n_1,n_2}\le t_{\alpha,n_1,n_2} .$$

Wenn die Stichprobenumfänge $n_1$ und $n_2$ groß sind, dann ist die direkte Bestimmung der Quantile $t_{\alpha,n_1,n_2}$ mit Hilfe von Theorem 6.5 schwierig. Die (näherungsweise) Bestimmung der Verteilung der Teststatistik $T_{n_1,n_2}$ ist dann jedoch mit Hilfe des folgenden zentralen Grenzwertsatzes, den wir hier ohne Beweis angeben.

Theorem 6.6   $\;$ Wenn $n_1, n_2\to\infty$, so dass $n_1/(n_1+n_2)\to p\;$ bzw. $\;n_2/(n_1+n_2)\to 1-p$ für ein $p\in(0,1)$, dann gilt

$$\lim\limits_{n_1,n_2\to\infty} \mathbb{P}\Bigl( \frac{T_{n_1,n_2... ...\rm Var }T_{n_1,n_2}}} \;\le\; x\Bigr)=\Phi(x)\qquad\forall x\in\mathbb{R} ,$$ (39)

wobei

$${\mathbb{E} }T_{n_1,n_2}\;=\;\frac{n_1(n_1+n_2+1)}{2}\;,\qquad{\rm Var } T_{n_1,n_2} \;=\;\frac{n_1n_2(n_1+n_2+1)}{12}$$

und $\Phi:\mathbb{R}\to[0,1]$ die Verteilungsfunktion der N$(0,1)$-Verteilung ist.

Beachte

 

• Wegen Theorem 6.6 wird für große $n_1,n_2$ die Nullhypothese $H_0: \delta=0$ zugunsten von $H_1: \delta\not=0$ abgelehnt, wenn
  $$\Bigl\vert\frac{T_{n_1,n_2}- n_1(n_1+n_2+1)/2}{\sqrt{n_1n_2(n_1+n_2+1)/12}}\Bigr\vert \;\ge\; z_{1-\alpha/2} ,$$
  wobei $z_\alpha$ das $\alpha$-Quantil der N$(0,1)$-Verteilung ist.
• Analog wird $H_0: \delta=0$ zugunsten von $H_1: \delta>0$ bzw. $H_1: \delta<0$ abgelehnt, wenn
  $$\frac{T_{n_1,n_2}- n_1(n_1+n_2+1)/2}{\sqrt{n_1n_2(n_1+n_2+1)/12}} \;\ge\; z_{1-\alpha}$$   bzw.$$\qquad \frac{T_{n_1,n_2}- n_1(n_1+n_2+1)/2}{\sqrt{n_1n_2(n_1+n_2+1)/12}} \;\le\; -z_{1-\alpha} .$$