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Stichprobenvarianz

Wir untersuchen nun die Frage, wie die Varianz $ \sigma^2=$   Var $ X_i$ der Stichprobenvariablen $ X_i$ aus den beobachteten Daten $ x_1,\ldots,x_n$ bestimmt werden kann. Dabei gehen wir ähnlich wie in Abschnitt 5.1.2 vor.

Definition 5.6
$ \;$ Die Zufallsvariable

$\displaystyle S_n^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\overline X_n)^2\,,$ (9)

heißt Stichprobenvarianz der Zufallsstichprobe $ (X_1,\ldots,X_n)$.

Theorem 5.7
$ \;$ Es gilt

$\displaystyle {\mathbb{E}\,}S_n^2=\sigma^2\,.$ (10)

Falls $ {\mathbb{E}\,}(X_i^4)<\infty$ für $ i=1,\ldots,n$, dann gilt außerdem

Var $\displaystyle S_n^2=\frac{1}{n}\Bigl(\mu_4-\frac{n-3}{n-1}\sigma^4\Bigr)\;,$ (11)

wobei $ \mu_4={\mathbb{E}\,}(X_i^4)$ und $ \sigma^4=($Var $ X_i)^2$ das 4-te Moment bzw. die quadrierte Varianz der Stichprobenvariablen $ X_i$ bezeichnen.

Beweis
 

Beachte
 

Neben den Formeln (10) und (11) für Erwartungswert und Varianz des Stichprobenvarianz $ S_n^2$ sind erneut weitere Aussagen über die Verteilung von $ S_n^2$ bzw. über deren asymptotisches Verhalten für große $ n$ von Interesse.

Aus dem starken Gesetz der großen Zahlen (vgl. Theorem 4.22) bzw. aus dem zentralen Grenzwertsatz (vgl. Theorem 4.24) ergibt sich

Theorem 5.8
$ \;$ Es gilt

$\displaystyle P\Bigl(\lim\limits _{n\to\infty} S_n^2 =\sigma^2\Bigr)=1\,.$ (12)

Falls $ {\mathbb{E}\,}(X_i^4)<\infty$ für $ i=1,\ldots,n$, dann gilt außerdem

$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}P\Bigl(\sqrt{n} \frac{S_n^2 -\sigma^2}{\sqrt{\mu_4-\sigma^4}}\le x\Bigr)=\Phi(x)$ (13)

für jedes $ x\in\mathbb{R}$, wobei $ \Phi(x)$ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist.

Beweis
 


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Roland Maier 2001-08-20