Statistische Prüfverteilungen

Außer der Quantilfunktion der Standardnormalverteilung werden bei der Bestimmung von Konfidenzintervallen bei normalverteilten Stichprobenvariablen die Quantilfunktionen weiterer Verteilungen benötigt.

Dabei werden insbesondere sogenannte Prüfverteilungen betrachtet, die wie folgt definiert sind.

Definition 5.22

$\;$ Seien $r,s\in\mathbb{N}$ beliebige Zahlen und seien $X_0,X_1,\ldots,X_r,\ldots,X_{r+s}$ unabhängige und N$(0,1)$-verteilte Zufallsvariable. Dann heißt die Verteilung von

$$\begin{array}{lll} \bullet & U_r=\sum\limits ^r_{i=1}X_i^2 &... ...eitsgraden (Schreibweise: $W_{r,s}\sim$ F$_{r,s}$)} \end{array}$$

Die Theoreme 3.22 bzw. 3.23 weisen einen Weg, wie man ausgehend von der in (3.6) eingeführten Dichte der Standardnormalverteilung zu Formeln für die Dichten der $\chi ^2$-Verteilung, t-Verteilung bzw. F-Verteilung gelangen kann. Dabei ergibt sich insbesondere

Theorem 5.23

$\;$ Sei $r\in\mathbb{N}$ eine beliebige Zahl. Dann sind die Dichten der Zufallsvariablen $U_r\sim\chi_r^2$ und $V_r\sim$ t$_r$ gegeben durch

$$f_{U_r}(x)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle \frac{x^{(r-2)/2... ...2}\,\Gamma(r/2)}\,, & \mbox{falls $x>0$}\\ 0 & \mbox{sonst} \end{array}\right.$$ (46)

bzw.

$$f_{V_r}(x)= \frac{\Gamma((r+1)/2)}{\Gamma(r/2)}\;\frac{1}{\sqrt{r\pi}\,(1+x^2/r)^{(r+1)/2}}$$ (47)

für jedes $x\in\mathbb{R}$, wobei $\Gamma:(0,\infty)\to(0,\infty)$ die Gammafunktion mit

$$\Gamma(z)=\int\limits _0^\infty e^{-y} \, y^{z-1}\, dy\,,\qquad z>0$$ (48)

bezeichnet; $\Gamma(1)=1$, $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$, $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$.

Wir bestimmen nun die (gemeinsame) Verteilung des Stichprobenmittels $\overline X_n$ und der Stichprobenvarianz $S_n^2$ bei normalverteilten Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$.

Theorem 5.24

$\;$ Sei $(X_1,\ldots,X_n)$ eine normalverteilte Zufallsstichprobe mit $X_i\sim$ N $(\mu,\sigma^2)$. Dann sind

$$\overline X_n=\frac{1}{n}\sum\limits _{i=1}^n X_i$$   und$$\qquad S_n^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits _{i=1}^n(X_i-\overline X_n)^2$$

unabhängige Zufallsvariable, und es gilt

$$\mbox{$\overline X_n\sim$N$(\mu,\sigma^2/n)$} \qquad \frac{(n-1)S_n^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-1}\,.$$ (49)

Beweis

 

• Der Nachweis der Unabhängigkeit von $\overline X_n$ und $S_n^2$ erfordert Hilfsmittel, die über den Rahmen dieser einführenden Vorlesung hinausgehen.
• Andererseits kann man sich leicht überlegen, daß $\overline X_n\sim$ N $(\mu,\sigma^2/n)$, vgl. das Beispiel in Abschnitt 3.6.2 bzw. den Kommentar nach Theorem 3.22.
• Wir skizzieren hier lediglich eine Begründung für die Gültigkeit von
  $$\frac{(n-1)S_n^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-1}\,.$$

• Offenbar gilt die Identität
  

  $$\sum\limits ^n_{i=1}(X_{i}-\mu )^{2} = \sum ^{n}_{i=1}((X_{i}-\overline X_n)+(\overline X_n-\mu ))^{2}$$

  $$= \sum ^{n}_{i=1}(X_{i}-\overline X_n)^{2}+2(\overline X_n-\mu ) \c... ...nderbrace{\sum ^{n}_{i=1}(X_{i}-\overline X_n)}_{=0} +n(\overline X_n-\mu )^{2}$$

  $$= \sum ^{n}_{i=1}(X_{i}-\overline X_n)^{2}+n(\overline X_n-\mu )^{2}$$

  
  

• Hieraus ergibt sich, daß
  $$\underbrace{\sum ^{n}_{i=1}\Bigl(\frac{X_{i}-\mu }{\sigma }\Bigr)... ... \frac{\sqrt{n}(\overline X_n-\mu )}{\sigma }\Bigr) ^{2}}_{\sim \chi^{2}_1}\,.$$

• Weil die beiden Summanden auf der rechten Seite dieser Gleichung unabhängig sind, ergibt sich nun aus der Definition der $\chi ^2$-Verteilung, daß der erste Summand auf der rechten Seite $\chi^2_{n-1}$-verteilt ist.

Korollar 5.25

$\;$ Sei $(X_1,\ldots,X_n)$ eine normalverteilte Zufallsstichprobe mit $X_i\sim$N $(\mu,\sigma^2)$. Dann gilt

$$\mbox{$\displaystyle\frac{\sqrt{n}(\overline X_n-\mu )}{S_n}\sim$t$_{n-1}\,.$}$$ (50)

Beweis

$\;$ Weil die Zufallsvariablen $\overline X_n$ und $S^2_n$ unabhängig sind (vgl. Theorem 5.24), kann man sich leicht überlegen, daß auch die Zufallsvariablen $\sqrt{n}\bigl(\frac{\overline X_n-\mu }{\sigma}\bigr)$ und $\sqrt{\frac{1}{n-1}\frac{(n-1)S^2_n}{\sigma^2}}$ unabhängig sind. Deshalb ergibt sich unmittelbar aus der Definition 5.22 der t-Verteilung, daß

$$\frac{\sqrt{n}(\overline X_n-\mu )}{S_n}=\frac{\sqrt{n}\displayst... ...laystyle\sqrt{\frac{1}{n-1}\frac{(n-1)S^2_n}{\sigma^2}}}\sim {\rm t}_{ n-1}\,.$$

Beachte

 

• Das $\gamma$-Quantil der $\chi ^2$-Verteilung mit $r$ Freiheitsgraden wird mit $\chi^2_{r,\gamma}$ bezeichnet, vgl. Tabelle 2.
• Das $\gamma$-Quantil der t-Verteilung mit $r$ Freiheitsgraden wird mit $t_{r,\gamma}$ bezeichnet, vgl. Tabelle 3.
• Analog zu der Symmetrieeigenschaft (43) der Quantile der Standardnormalverteilung gilt

  $$t_{r,\gamma}=-t_{r,1-\gamma}$$ (51)

  
  
  für beliebige $r\in\mathbb{N}$ und $\gamma\in(0,1)$.