Asymptotische Konfidenzintervalle

Wir zeigen für zwei Beispiele von Familien parametrischer Verteilungen, wie man mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes (vgl. Theorem 4.24) und des starken Gesetzes der großen Zahlen (vgl. Theorem 4.22) asymptotische Konfidenzintervalle auf einfache Weise herleiten kann.

Dabei kehren wir zunächst erneut zur Betrachtung von Ein-Stichproben-Problemen zurück. D.h., wir nehmen an, daß ein Datensatz $(x_1,\ldots,x_n)$ beobachtet wird, den wir als Realisierung einer Zufallsstichprobe $(X_1,\ldots,X_n)$ auffassen.

Beispiel

$\;$ Konfidenzintervall für den Erwartungswert $\lambda$ bei Poisson-Verteilung

• Wir nehmen an, daß $X_i\sim$ Poi$(\lambda)$ für ein (unbekanntes) $\lambda>0$.
• Weil dann ${\mathbb{E}\,}X_i=\lambda$ und Var $X_i=\lambda$ gilt, ergibt sich aus Theorem 4.24, daß für jedes $\alpha\in(0,1)$

  $$\lim\limits _{n\to\infty} P\Bigl(-z_{1-\alpha/2}\le\sqrt{n}\frac{\overline X_n-\lambda}{\sqrt{\lambda}}\le z_{1-\alpha/2}\Bigr)=1-\alpha\,.$$ (64)

  
  

• Durch Quadrierung der Ungleichungen in (64) und anschließende Auflösung nach $\lambda$ ergibt sich, daß (64) äquivalent ist mit
  $$\lim\limits _{n\to\infty} P\left(\Bigl\vert\lambda-\Bigl(\overlin... ..._n z^2_{1-\alpha/2}}{n}+\frac{z^4_{1-\alpha/2}}{4\,n^2}}\; \right)=1-\alpha\,.$$

• Also ist mit
  $$\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\overline X_n+\frac{z^2_{1-\alph... ...t{\frac{\overline X_n z^2_{1-\alpha/2}}{n}+\frac{z^4_{1-\alpha/2}}{4\,n^2}}\;,$$
  $$\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\overline X_n+\frac{z^2_{1-\alpha... ...sqrt{\frac{\overline X_n z^2_{1-\alpha/2}}{n}+\frac{z^4_{1-\alpha/2}}{4\,n^2}}$$
  ein asymptotisches Konfidenzintervall $(\underline\theta(X_1,\ldots,X_n),\overline\theta(X_1,\ldots,X_n))$ für $\lambda$ zum Niveau $\gamma=1-\alpha$ gegeben.
• Für die Länge dieses Konfidenzintervalls gilt
  $$\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)-\underline\theta(X_1,\ldots,X_n) ... ...t{\frac{\overline X_n z^2_{1-\alpha/2}}{n}+\frac{z^4_{1-\alpha/2}}{4\,n^2}}\;.$$

Beachte

 

• Ein weiteres asymptotisches Konfidenzintervall für $\lambda$ ergibt sich, wenn die Größe $\sqrt{\lambda}$ im Nenner von (64) ersetzt wird durch $\sqrt{\overline X_n}$.
• Aus dem starken Gesetz der großen Zahlen (vgl. Theorem 4.22) ergibt sich nämlich, daß
  $$\overline X_n \overset{\textrm{f.s.}}{\longrightarrow} \lambda\,.$$

• Man kann zeigen, daß hieraus und aus (64) die Gültigkeit von

  $$\lim\limits _{n\to\infty} P\Bigl(-z_{1-\alpha/2}\le\sqrt{n}\;\frac{\overline X_n-\lambda}{\sqrt{\overline X_n}}\le z_{1-\alpha/2}\Bigr)=1-\alpha$$ (65)

  
  
  für jedes $\alpha\in(0,1)$ folgt, wobei diese Art von Aussagen in der Literatur der Satz von Slutski genannt werden. Als ihr ,,Entdecker'' gilt Jewgeni Jewgenjewitsch Slutski (1880-1948).
• Also ist mit

  $$\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\overline X_n-\frac{z_{1-\alpha/... ...\ldots,X_n)=\overline X_n+\frac{z_{1-\alpha/2}}{\sqrt{n}}\,\sqrt{\overline X_n}$$ (66)

  
  
  ein weiteres asymptotisches Konfidenzintervall $\bigl(\underline\theta(X_1,\ldots,X_n),\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)\bigr)$ für $\lambda$ zum Niveau $\gamma=1-\alpha$ gegeben.
• Dieses Konfidenzinterval hat allerdings den Nachteil, daß die in (66) gegebene Zufallsvariable $\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)$ auch negative Werte annehmen kann, obwohl bei der Poisson-Verteilung vorausgesetzt wird, daß $\lambda>0$.
• Deshalb kann man anstelle von (66) die Zufallsvariablen
  $$\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\max\Bigl\{0,\overline X_n-\frac... ...ldots,X_n)=\overline X_n+\frac{z_{1-\alpha/2}}{\sqrt{n}}\,\sqrt{\overline X_n}$$
  als Endpunkte des Konfidenzintervalls $\bigl(\underline\theta(X_1,\ldots,X_n),\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)\bigr)$ für $\lambda$ betrachten.

Beispiel

$\;$ Konfidenzintervall für die ,,Erfolgswahrscheinlichkeit'' $p$ bei Bernoulli-Verteilung

• Wir nehmen an, daß $X_i\sim$ Bin$(1,p)$ für ein (unbekanntes) $p\in(0,1)$.
• Weil dann ${\mathbb{E}\,}X_i=p$ und Var $X_i=p(1-p)$ gilt, ergibt sich aus Theorem 4.24, daß für jedes $\alpha\in(0,1)$

  $$\lim\limits _{n\to\infty} P\Bigl(-z_{1-\alpha/2}\le\sqrt{n}\;\frac{\overline X_n-p}{\sqrt{p(1-p)}}\le z_{1-\alpha/2}\Bigr)=1-\alpha\,.$$ (67)

  
  

• Durch Quadrierung der Ungleichungen in (67) und anschließende Auflösung nach $p$ ergibt sich, daß (67) äquivalent ist mit
  $$\lim\limits _{n\to\infty} P\bigl(\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)\le p\le\overline\theta(X_1,\ldots,X_n) \bigr)=1-\alpha\,,$$
  wobei
  $$\underline\theta(X_1,\ldots,X_n) =\frac{1}{n+z^2_{1-\alpha/2}}\le... ...}\,\sqrt{n\overline X_n(1-\overline X_n)+ \frac{z^2_{1-\alpha/2}}{4}}\;\right)$$
  bzw.
  $$\overline\theta(X_1,\ldots,X_n) =\frac{1}{n+z^2_{1-\alpha/2}}\lef... ...\sqrt{n\overline X_n(1-\overline X_n)+ \frac{z^2_{1-\alpha/2}}{4}}\;\right)\,.$$

• Auf diese Weise ergibt sich ein asymptotisches Konfidenzintervall $\bigl(\underline\theta(X_1,\ldots,X_n),\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)\bigr)$ für $p$ zum Niveau $\gamma=1-\alpha$.

Beachte

 

• Ähnlich wie in dem vorhergehenden Beispiel erhält man ein einfacheres asymptotisches Konfidenzintervall für $p$, wenn man berücksichtigt, daß
  $$\overline X_n \overset{\textrm{f.s.}}{\longrightarrow} p$$
  wegen des starken Gesetzes der großen Zahlen (vgl. Theorem 4.22).
• Hieraus und aus (67) ergibt sich (wegen des Satzes von Slutski), daß

  $$\lim\limits _{n\to\infty} P\Bigl(-z_{1-\alpha/2}\le\sqrt{n}\;\fra... ...n-p}{\sqrt{\overline X_n(1-\overline X_n)}}\le z_{1-\alpha/2}\Bigr)=1-\alpha\,.$$ (68)

  
  

• Also ist mit
  $$\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\overline X_n-\frac{z_{1-\alpha/2}}{\sqrt{n}}\,\sqrt{\overline X_n(1-\overline X_n)}$$
  bzw.
  $$\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)= \overline X_n+\frac{z_{1-\alpha/2}}{\sqrt{n}}\,\sqrt{\overline X_n(1-\overline X_n)}$$
  ein weiteres asymptotisches Konfidenzintervall $\bigl(\underline\theta(X_1,\ldots,X_n),\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)\bigr)$ für $p$ zum Niveau $\gamma=1-\alpha$ gegeben.
• Dieses Konfidenzinterval hat jedoch den Nachteil, daß die Zufallsvariable $\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)$ negative Werte und $\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)$ Werte größer als 1 annehmen kann, obwohl bei der Bernoulli-Verteilung vorausgesetzt wird, daß $0<p<1$.
• Deshalb betrachtet man die modifizierten Schätzer
  $$\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\max\Bigl\{0,\overline X_n-\frac{z_{1-\alpha/2}}{\sqrt{n}}\,\sqrt{\overline X_n(1-\overline X_n)}\Bigr\}$$
  bzw.
  $$\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)= \min\Bigl\{1,\overline X_n+\frac{z_{1-\alpha/2}}{\sqrt{n}}\,\sqrt{\overline X_n(1-\overline X_n)}\Bigr\}$$
  als Endpunkte des Konfidenzintervalls $(\underline\theta(X_1,\ldots,X_n),\overline\theta(X_1,\ldots,X_n))$ für $p$.

Wir betrachten nun noch zwei Beispiele für asymptotische Konfidenzintervalle bei Zwei-Stichproben-Problemen.

• Seien $n_1,n_2\in\mathbb{N}$ zwei beliebige, jedoch vorgegebene Zahlen.
• So wie im ersten Teil des Abschnittes 5.3.5 fassen wir die (konkreten) Stichproben $(x_{11},\ldots,x_{1n_1})$ und $(x_{21},\ldots,x_{2n_2})$ als Realisierungen von zwei unabhängigen (d.h. nicht verbundenen) Zufallsstichproben $(X_{11},\ldots,X_{1n_1})$ bzw. $(X_{21},\ldots,X_{2n_2})$ auf.

Beispiel

$\;$ Konfidenzintervall für die Differenz zweier Erwartungswerte (bei Poisson-Verteilung)

• Wir nehmen an, daß $X_{1i}\sim$ Poi $(\lambda_1)$ und $X_{2i}\sim$ Poi $(\lambda_2)$ für (unbekannte) $\lambda_1,\lambda_2>0$.
• Genauso wie bei den beiden vorhergehenden Beispielen ergibt sich dann aus dem zentralen Grenzwertsatz, dem starken Gesetz der großen Zahlen bzw. dem Satz von Slutski, daß
  $$\frac{\overline X_{1n_1}-\overline X_{2n_2}-(\lambda_1-\lambda_2)... ...}+ \frac{\overline X_{2n_2}}{n_2}}} \overset{\textrm{d}}{\longrightarrow} Y\,,$$
  falls $n_1,n_2\to\infty$, wobei $Y\sim$ N$(0,1)$.
• Also gilt für jedes $\alpha\in(0,1)$

  $$\lim\limits _{n_1,n_2\to\infty} P\Bigl(-z_{1-\alpha/2}\leq \frac{... ...1}}{n_1}+ \frac{\overline X_{2n_2}}{n_2}}} \leq z_{1-\alpha/2}\Bigr) = 1-\alpha$$ (69)

  
  

• Deshalb ist mit
  $$\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\overline X_{1n_1}-\overline X_{... ...playstyle\sqrt{\frac{\overline X_{1n_1}}{n_1}+ \frac{\overline X_{2n_2}}{n_2}}$$
  bzw.
  $$\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\overline X_{1n_1}-\overline X_{2... ...playstyle\sqrt{\frac{\overline X_{1n_1}}{n_1}+ \frac{\overline X_{2n_2}}{n_2}}$$
  ein asymptotisches Konfidenzintervall $\bigl(\underline\theta(X_1,\ldots,X_n),\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)\bigr)$ für $\lambda_1-\lambda_2$ zum Niveau $\gamma=1-\alpha$ gegeben.

Beispiel

$\;$ Konfidenzintervall für den Quotienten zweier Erwartungswerte (bei Poisson-Verteilung)

• So wie in dem vorhergehenden Beispiel nehmen wir an, daß $X_{1i}\sim$ Poi $(\lambda_1)$ und $X_{2i}\sim$ Poi $(\lambda_2)$ für (unbekannte) $\lambda_1,\lambda_2>0$.
• Außerdem gelte für eine Zahl $\rho>0$
  $$\lim\limits _{n_1,n_2\to\infty}\frac{n_1}{n_2}=\rho\,.$$

• Dann kann man zeigen, daß für jedes $\alpha\in(0,1)$
  $$\lim\limits _{n_1,n_2\to\infty} P\Bigl(-z_{1-\alpha/2}\leq \frac{... ...line X_{1n_1}+n_2\overline X_{2n_2}}}} \leq z_{1-\alpha/2}\Bigr) = 1-\alpha\,,$$
  wobei
  $$p=\frac{\lambda_2}{\rho\lambda_1+\lambda_2}\;.$$

• Also ist mit
  $$\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\frac{n_2\overline X_{2n_2}}{n_1... ...ot n_2\overline X_{2n_2}}{(n_1\overline X_{1n_1}+n_2\overline X_{2n_2})^3}}\;,$$
  $$\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\frac{n_2\overline X_{2n_2}}{n_1\... ...\cdot n_2\overline X_{2n_2}}{(n_1\overline X_{1n_1}+n_2\overline X_{2n_2})^3}}$$
  ein asymptotisches Konfidenzintervall $\bigl(\underline\theta(X_1,\ldots,X_n),\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)\bigr)$ für $p$ zum Niveau $\gamma=1-\alpha$ gegeben.