Zwei-Stichproben-Probleme

In Verallgemeinerung der Situation, die bisher in Abschnitt 5 betrachtetet wurde, sollen nun gleichzeitig zwei Datensätze $(x_{11},\ldots,x_{1n_1})$ und $(x_{21},\ldots,x_{2n_2})$ stochastisch modelliert werden.

• Dabei können die Stichprobenumfänge $n_1,n_2\in\mathbb{N}$ beliebige Zahlen sein, die nicht notwendig gleich sein müssen.
• Die (konkreten) Stichproben $(x_{11},\ldots,x_{1n_1})$ und $(x_{21},\ldots,x_{2n_2})$ fassen wir als Realisierungen von zwei Zufallsstichproben $(X_{11},\ldots,X_{1n_1})$ bzw. $(X_{21},\ldots,X_{2n_2})$ auf.

Wir betrachten nun zwei (unendliche) Folgen $X_{11},X_{12},\ldots$ und $X_{21},X_{22},\ldots$ von Zufallsvariablen und nehmen an, daß

• die (zweidimensionalen) Zufallsvektoren $X_1,X_2,\ldots$ mit $X_i=(X_{1i},X_{2i})$ unabhängig und identisch verteilt sind,
• die (gemeinsame) Verteilungsfunktion $F$ von $X_i$ zu einer vorgegebenen parametrischen Familie von Verteilungsfunktionen $\{F_\theta,\,\theta\in\Theta\}$ gehört, $\Theta\subset\mathbb{R}^m$,
• der Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,\mathcal{F},P)$, über dem die Zufallsvektoren $X_1,X_2,\ldots$ definiert sind, der kanonische Wahrscheinlichkeitsraum dieser Zufallsvektoren ist.

Beachte

$\;$ Die Komponenten $X_{1i}$ und $X_{2i}$ von $X_i$ müssen jedoch im allgemeinen weder unabhängig noch identisch verteilt sind.

Im Rahmen dieser einführenden Vorlesung betrachten wir lediglich den Fall, daß

• ein (nichtvektorieller) Funktionswert $g(\theta)\in\mathbb{R}$ des Parametervektors $\theta=(\theta_1,\ldots,\theta_m)$ aus den beobachteten Daten $(x_{11},\ldots,x_{1n_1})$ bzw. $(x_{21},\ldots,x_{2n_2})$ geschätzt werden soll, wobei $g:\Theta\to\mathbb{R}$ eine vorgegebene Borel-meßbare Funktion sei.
• Dabei diskutieren wir insbesondere die Frage, wie das in Abschnitt 5.3.1 eingeführte Modell des Konfidenzintervalls verallgemeinert werden kann, um zu Konfidenzintervallen ausgehend von (vektoriellen) Stichprobenvariablen $X_i=(X_{1i},X_{2i})$ zu gelangen.

Zur Vereinfachung der Schreibweise setzen wir $n=\max\{n_1,n_2\}$ und betrachten

• zwei Stichprobenfunktionen $\underline\theta:\mathbb{R}^{2n}\to\mathbb{R}$ und $\overline\theta:\mathbb{R}^{2n}\to\mathbb{R}$, so daß

  $$\underline\theta(x_1,\ldots,x_n)\le\overline\theta(x_1,\ldots,x_n) \qquad\forall (x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^{2n}\,,$$ (60)

  
  

• wobei die Funktionswerte $\underline\theta(x_1,\ldots,x_n)$ und $\overline\theta(x_1,\ldots,x_n)$ jedoch nur von den (beobachteten) Komponenten $(x_{11},\ldots,x_{1n_1})$ und $(x_{21},\ldots,x_{2n_2})$ des Vektors $(x_1,\ldots,x_n)$ abhängen mögen.

Definition 5.26

$\;$ Sei $\gamma\in(0,1)$ eine beliebige, jedoch fest vorgegebene Zahl. Dann heißt das zufällige Intervall $\bigl(\underline\theta(X_1,\ldots,X_n),\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)\bigr)$ Konfidenzintervall für $g(\theta)$ zum Niveau $\gamma$, falls

$$P_\theta (\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)\le g(\theta)\le\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)) \ge\gamma$$ (61)

für jedes $\theta\in\Theta$.

Beachte

 

• Bisher hatten wir in Abschnit 5.3 stets den Fall betrachtet, daß $g(\theta)=\theta_j$ für ein $j\in\{1,\ldots,m\}$.
• In den folgenden Beispielen hat $g(\theta)$ die Form $g(\theta)=\theta_j-\theta_k$ bzw. $g(\theta)=\theta_j/\theta_k$ für ein vorgegebenes Paar $j,k\in\{1,\ldots,m\}$ von Indizes.

Die Stichprobenvariablen $X_i=(X_{1i},X_{2i})$ seien nun normalverteilte Zufallsvektoren, wobei wir in den folgenden zwei Beispielen außerdem voraussetzen, daß die Komponenten $X_{1i}$ und $X_{2i}$ von $X_i$ unabhängige (jedoch im allgemeinen nicht identisch verteilte) Zufallsvariable sind.

Beispiel

$\;$ Konfidenzintervall für die Differenz zweier Erwartungswerte (bei bekannten Varianzen)

• Für zwei beliebige, jedoch vorgegebene Zahlen $n_1,n_2\in\mathbb{N}$ betrachten wir zwei unabhängige Zufallsstichproben $(X_{11},\ldots,X_{1n_1})$ und $(X_{21},\ldots,X_{2n_2})$.
• Dabei nehmen wir an, daß $X_{1i}\sim$ N $(\mu_1,\sigma_1^2)$ und $X_{2i}\sim$ N $(\mu_2,\sigma_2^2)$ für (unbekannte) $\mu_1,\mu_2\in\mathbb{R}$ und (bekannte) $\sigma_1^2,\sigma_2^2>0$.
• Dann sind die Stichprobenmittel $\overline X_{1n_1}$ und $\overline X_{2n_2}$ unabhängige Zufallsvariable mit
     $$\mbox{$\overline X_{1n_1}\sim$ N$(\mu_1,\sigma_1^2/n_1)\,,\qquad \overline X_{2n_2}\sim$ N$(\mu_2,\sigma_2^2/n_2)\,,$}$$$$$$
  vgl. das Beispiel in Abschnitt 3.6.2 bzw. den Kommentar nach Theorem 3.22.
• Hieraus folgt, daß
     $$\mbox{$\overline X_{1n_1}-\overline X_{2n_2}\sim$ N$\displaystyle\Bigl(\mu_1-\mu_2,\frac{\sigma_1^2}{n_1}+ \frac{\sigma_2^2}{n_2}\Bigr)$}$$$$$$
  bzw.
     $$\mbox{$\displaystyle\frac{\overline X_{1n_1}-\overline X_{2n_2}-(... ...aystyle\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+ \frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\sim$ N$(0,1)\,.$}$$$$$$

• Also gilt für jedes $\alpha\in(0,1)$
  $$P\Bigl(z_{\frac{\alpha}{2}}\leq \frac{\overline X_{1n_1}-\overlin... ...1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\leq z_{1-\frac{\alpha}{2}}\Bigr) = 1-\alpha$$
  bzw.
  $$P\Bigl(\underbrace{\overline X_{1n_1}-\overline X_{2n_2}-z_{1-\fr... ...+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}_{ \displaystyle=\overline\theta}\Bigr) = 1-\alpha\,.$$

• Die auf diese Weise bestimmten Stichprobenfunktionen $\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)$ und $\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)$ ergeben ein Konfidenzinterval für $\mu_1-\mu_2$ zum Niveau $\gamma=1-\alpha$.

Beispiel

$\;$ Konfidenzintervall für den Quotienten zweier Varianzen (bei unbekannten Erwartungswerten)

• Ähnlich wie in dem vohergehenden Beispiel betrachten wir für zwei beliebige, jedoch vorgegebene Zahlen $n_1,n_2\in\mathbb{N}$ zwei unabhängige Zufallsstichproben $(X_{11},\ldots,X_{1n_1})$ und $(X_{21},\ldots,X_{2n_2})$.
• Dabei nehmen wir an, daß $X_{1i}\sim$ N $(\mu_1,\sigma_1^2)$ und $X_{2i}\sim$ N $(\mu_2,\sigma_2^2)$ für (unbekannte) $\mu_1,\mu_2\in\mathbb{R}$ und (unbekannte) $\sigma_1^2,\sigma_2^2>0$.
• Dann sind die Stichprobenvarianzen $S^2_{1n_1}$ und $S^2_{2n_2}$ unabhängige Zufallsvariable und
• gemäß Theorem 5.24 gilt
  $$\frac{(n_1-1)S^2_{1n_1}}{\sigma_1^2}\sim\chi^2_{n_1-1}$$   bzw.$$\qquad \frac{(n_2-1)S^2_{2n_2}}{\sigma_2^2}\sim\chi^2_{n_2-1}\,.$$

• Hieraus und aus der Definition der F-Verteilung, die in Abschnitt 5.3.3 eingeführt wurde, ergibt sich
     $$\mbox{$\displaystyle\frac{S^2_{2n_2}/\sigma^2_2}{S^2_{1n_1}/\sigma^2_1}\sim$ F$_{n_2-1,n_1-1}$\,.}$$$$$$

• Also gilt für jedes $\alpha\in(0,1)$
  $$P\Bigl(F_{n_2-1,n_1-1,\frac{\alpha}{2}}\le \frac{S^2_{2n_2}/\sigm... ...2}{S^2_{1n_1}/\sigma^2_1}\le F_{n_2-1,n_1-1,1-\frac{\alpha}{2}}\Bigr)=1-\alpha$$
  bzw.
  $$P\Bigl(\underbrace{\frac{S^2_{1n_1}}{S^2_{2n_2}}\, F_{n_2-1,n_1-1... ...,n_1-1,1-\frac{\alpha}{2}}}_{\displaystyle=\overline\theta} \Bigr)=1-\alpha\,,$$
  wobei $F_{n_2-1,n_1-1,\gamma}$ das $\gamma$-Quantil der F-Verteilung mit $(n_2-1,n_1-1)$ Freiheitsgraden bezeichnet, vgl. Tabellen 4a-4f.
• Die auf diese Weise bestimmten Stichprobenfunktionen $\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)$ und $\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)$ ergeben ein Konfidenzinterval für $\sigma^2_1/\sigma^2_2$ zum Niveau $\gamma=1-\alpha$.

Beachte

 

• Die in den letzten beiden Beispielen gemachte Modellannahme, daß die Zufallsstichproben $(X_{11},\ldots,X_{1n_1})$ und $(X_{21},\ldots,X_{2n_2})$ unabhängig sind, ist manchmal unrealistisch.
• Betrachten beispielsweise die folgende Tabelle der Körpergrößen $x_{11},\ldots,x_{1\,12}$ einer (konkreten) Stichprobe von 12 Müttern und der Körpergrößen $x_{21},\ldots,x_{2\,12}$ ihrer ältesten Töchter.

  
  
  

  $x_{1i}$	1.65	1.63	1.67	1.64	1.68	1.62	1.70	1.66	1.68	1.67	1.69	1.71
  $x_{2i}$	1.68	1.66	1.68	1.65	1.69	1.66	1.68	1.65	1.71	1.67	1.68	1.70

  
  
  

• Aus dieser Tabelle ist ersichtlich (und dies stimmt mit unserer Intuition überein), daß vermutlich ein Zusammenhang zwischen den Körpergrößen $x_{11},\ldots,x_{1\,12}$ der Mütter und den Körpergrößen $x_{21},\ldots,x_{2\,12}$ ihrer ältesten Töchter besteht.
• In diesem Fall ist es nicht sinnvoll anzunehmen, daß $(x_{11},\ldots,x_{1\,12})$ und $(x_{21},\ldots,x_{2\,12})$ die Realisierungen von zwei unabhängigen Zufallsstichproben $(X_{11},\ldots,X_{1\,12})$ bzw. $(X_{21},\ldots,X_{2\,12})$ sind.
• Dies führt zum Begriff verbundener Stichproben, der in dem folgenden Beispiel erläutert wird.

Beispiel

$\;$ Konfidenzintervall für die Differenz der Erwartungswerte von verbundenen Stichproben

• Betrachten die Zufallsvektoren $X_1,\ldots,X_n$ mit $X_i=(X_{1i},X_{2i})$, wobei $X_1,\ldots,X_n$ (so wie bisher stets angenommen) unabhängig und identisch verteilt seien.
• Die (einzelnen) Zufallstichproben $(X_{11},\ldots,X_{1n})$ und $(X_{21},\ldots,X_{2n})$ müssen jedoch jetzt nicht unabhängig sein, weshalb man von verbundenen Stichproben spricht.
• Wir nehmen an, daß ${\mathbb{E}\,}X_{1i}=\mu_1$ und ${\mathbb{E}\,}X_{2i}=\mu_2$ für (unbekannte) $\mu_1,\mu_2\in\mathbb{R}$.
• Außerdem seien die Differenzen $Y_1,\ldots,Y_n$ mit $Y_i=X_{1i}-X_{2i}$ unabhängige und identisch (normal-) verteilte Zufallsvariable mit $Y_i\sim$ N $(\mu_1-\mu_2,\sigma^2)$ für ein (unbekanntes) $\sigma^2>0$.
• Die gleichen Überlegungen wie im ersten Beispiel des Abschnittes 5.3.4 ergeben nun, daß für jedes $\alpha\in(0,1)$

  $$P\Bigl(-t_{n-1,1-\alpha/2}\le\frac{\sqrt{n}(\overline Y_n-(\mu_1-\mu_2))}{S_{Y,n}}\le t_{n-1,1-\alpha/2}\Bigr)=1-\alpha$$ (62)

  
  
  bzw.
  $$P\Bigl(\overline Y_n-t_{n-1,1-\alpha/2}\frac{S_{Y,n}}{\sqrt{n}}\l... ...\le\overline Y_n+t_{n-1,1-\alpha/2}\frac{S_{Y.n}}{\sqrt{n}} \Bigr)=1-\alpha\,,$$
  wobei $\overline Y_n=\frac{1}{n}\sum\limits _{i=1}^n Y_i$ und $S_{Y,n}^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits _{i=1}^n (Y_i-\overline Y_n)^2$.
• Also ist mit

  $$\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\overline Y_n-t_{n-1,1-\alpha/2}\frac{S_{Y,n}}{\sqrt{n}} \qquad \overline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\overline Y_n+t_{n-1,1-\alpha/2}\frac{S_{Y,n}}{\sqrt{n}}$$ (63)

  
  
  ein (symmetrisches) Konfidenzintervall $\bigl(\underline\theta(X_1,\ldots,X_n),\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)\bigr)$ für $\mu_1-\mu_2$ zum Niveau $\gamma=1-\alpha$ gegeben.

Beachte

 

• Für die oben betrachtete (konkrete) Stichprobe $(x_1,\ldots,x_{12})$ der Körpergrößen von 12 Müttern und ihrer ältesten Töchter gilt
  $$\overline y_{12}=- 0.0092\,,\qquad s^2_{y,12}=0.00039$$   bzw.$$\quad s_{y,12}=0.0197\,.$$

• Für $\gamma=0.95$ entnehmen wir das Quantil $t_{11,0.975}=2.201$ aus Tabelle 3
• und erhalten
  

  $$\underline\theta(x_1,\ldots,x_{12}) =\overline y_{12}-t_{11,\, 0.975}\frac{s_{y,12}}{\sqrt{12}}= \displaystyle -0.0092-2.201\,\frac{0.0197}{\sqrt{12}} = -0.022$$

  $$\overline\theta(x_1,\ldots,x_{12}) =\overline y_{12}+t_{11,\, 0.975}\frac{s_{y,12}}{\sqrt{12}}= \displaystyle -0.0092+2.201\,\frac{0.0197}{\sqrt{12}} =0.0033$$

  
  

• Somit ergibt sich das (konkrete) Konfidenzintervall $(-0.022,\,0.0033)$ für $\mu_1-\mu_2$.