Stichprobenfunktionen

Um Eigenschaften der Verteilungsfunktion $F$ zu bestimmen, werden Funktionen $\varphi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ betrachtet, die der Stichprobe $(x_1,\ldots,x_n)$ die ,,Bewertung'' $\varphi(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}$ zuordnen, vgl. auch Abschnitt WR-3.4. Dies führt zu der folgenden Begriffsbildung.

Definition

$\;$ Sei $m\ge 1$ eine beliebige natürliche Zahl. Eine Borel-meßbare Abbildung $\varphi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ heißt Stichprobenfunktion.

Beachte

 

• Im allgemeinen ist es üblich, die zusammengesetzte Abbildung $\varphi(X_1,\ldots,X_n):\Omega\to\mathbb{R}$ mit
  $$\varphi(X_1,\ldots,X_n)(\omega)=\varphi(X_1(\omega),\ldots,X_n(\omega))$$
  Statistik zu nennen, d.h., $\varphi$ ist dann eine Funktion der Zufallsstichprobe $(X_1,\ldots,X_n)$.
• Manchmal spricht man auch von einer zufälligen Stichprobenfunktion.
• Im Zusammenhang mit der Schätzung von Parametern oder anderen Modellcharakteristiken nennt man $\varphi(X_1,\ldots,X_n)$ Schätzer. Beim Testen von Hypothesen spricht man dagegen von (Test-) Statistiken bzw. von Testgrößen, vgl. Abschnitt 4.