Wir führen nun noch eine weitere Klasse von statistischen
Prüfverteilungen ein: die Klasse der F-Verteilungen, die zum
Beispiel bei der Konstruktion von Konfidenzintervallen für
Zwei-Stichproben-Probleme benötigt werden; vgl.
Abschnitt 3.3.
Definition
Seien beliebige natürliche Zahlen, und seien
unabgängige -verteilte
Zufallsvariablen mit
und
.
Man sagt dann, dass die Zufallsvariable
F-verteilt ist mit Freiheitsgraden. (Schreibweise:
F)
Theorem 3.1
Seien beliebige natürliche Zahlen, und sei
eine F-verteilte Zufallsvariable mit
Freiheitsgraden. Dann ist die Dichte von gegeben durch
(8)
wobei
,
und
.
Beweis
Aus Theorem 1.6 ergibt sich für die Dichten der
-verteilten Zufallsvariablen mit und
,
dass
und
Hieraus folgt, dass
(9)
und
(10)
Wegen Theorem WR-3.17 gilt außerdem für die Dichte
des Quoienten der unabhängigen Zufallsvariablen
und
, dass
Durch Einsetzen von (9) und (10)
ergibt sich somit, dass für
wobei sich die vorletzte Gleichheit aus der in
Abschnitt 1.3.1 hergeleiteten Darstellungsformel
(1.24) für die Gammafunktion ergibt, gemäß der für
beliebige
Beachte
Seien beliebige natürliche Zahlen, und sei
.
Falls
F, dann wird die Lösung
der Gleichung
das -Quantil
der F-Verteilung mit Freiheitsgraden genannt, vgl. die
Tabellen 4a-4f in Abschnitt 6.