Zwei-Stichproben-Probleme

Wir betrachten nun noch zwei Beispiele für asymptotische Konfidenzintervalle bei Zwei-Stichproben-Problemen.

• Seien $n_1,n_2\in\mathbb{N}$ zwei beliebige, jedoch vorgegebene natürliche Zahlen.
• So wie in Abschnitt 3.3.2 fassen wir die (konkreten) Stichproben $(x_{11},\ldots,x_{1n_1})$ und $(x_{21},\ldots,x_{2n_2})$ als Realisierungen von zwei unabhängigen (d.h. nicht verbundenen) Zufallsstichproben $(X_{11},\ldots,X_{1n_1})$ bzw. $(X_{21},\ldots,X_{2n_2})$ auf.

1.

$\;$ Konfidenzintervall für die Differenz zweier Erwartungswerte (bei Poisson-Verteilung)

• Wir nehmen an, dass $X_{1i}\sim$ Poi $(\lambda_1)$ und $X_{2i}\sim$ Poi $(\lambda_2)$ für (unbekannte) $\lambda_1,\lambda_2>0$.
• Um ein asymptotisches Konfidenzintervall für die Differenz $\lambda_1-\lambda_2$ herzuleiten, wenden wir den zentralen Grenzwertsatz von Ljapunow für Summen von unabhängigen (jedoch nichtnotwendig identisch verteilten) Zufallsvariablen an; vgl. Theorem WR-5.23.
• Zur Erinnerung: Für jedes $n\in\mathbb{N}$ sei $Y_{n1},\ldots,Y_{nn}$ eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen, so dass für jedes $k\in\{1,\ldots,n\}$

  $${\mathbb{E}\,}Y_{nk}=0\,,\qquad0<\sigma_{nk}^2={\rm Var\,} Y_{nk}<\infty\,,\qquad\sum\limits_{k=1}^n\sigma_{nk}^2=1$$ (36)

  
  
  und für ein $\delta>0$

  $$\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^n{\mathbb{E}\,}\bigl(\vert Y_{nk}\vert^{2+\delta}\bigr)=0\,.$$ (37)

  
  

• In Theorem WR-5.23 hatten wir gezeigt, dass dann für jedes $x\in\mathbb{R}$

  $$\lim\limits_{n\to\infty} P_{(\lambda_1,\lambda_2)}(Y_{n1}+\ldots+Y_{nn}\le x)=\Phi(x)\,,$$ (38)

  
  
  wobei $\Phi:\mathbb{R}\to[0,1]$ die Verteilungsfunktion der N$(0,1)$-Verteilung ist.
• Hieraus ergibt sich nun der folgende Hilfssatz.

Lemma 3.1   Falls $n_1,n_2\to\infty$, dann gilt

$$\frac{\overline X_{1n_1}-\overline X_{2n_2}-(\lambda_1-\lambda_2... ...da_1}{n_1}+ \frac{\lambda_2}{n_2}}} \overset{\textrm{d}}{\longrightarrow} Y\; \mbox{$\sim$\ {\rm N}$(0,1)\,,$}$$ (39)

wobei

$$\overline X_{in_i}=\sum\limits_{j=1}^{n_i}\frac{X_{ij}}{n_i}\,,\qquad i=1,2\,.$$

Beweis $\;\;$  

• Mit der Schreibweise $n=n_1+n_2$ und
  $$Y_{nk}=\frac{X_{1k}-\lambda_1}{n_1\displaystyle\sqrt{\frac{\lambda_1}{n_1}+ \frac{\lambda_2}{n_2}}}\qquad\forall\, k=1,\ldots,n_1$$
  bzw.
  $$Y_{nk}=-\;\frac{X_{2,k-n_1}-\lambda_2}{n_2\displaystyle\sqrt{\fra... ...ambda_1}{n_1}+ \frac{\lambda_2}{n_2}}}\qquad\forall\, k=n_1+1,\ldots,n_1+n_2$$
  gilt offenbar für jedes $k\in\{1,\ldots,n\}$
  $${\mathbb{E}\,}Y_{nk}=0\,,\qquad0<\sigma_{nk}^2={\rm Var\,} Y_{nk}<\infty\,,\qquad\sum\limits_{k=1}^n\sigma_{nk}^2=1\,,$$
  d.h., die Bedingung (36) ist erfüllt.
• Außerdem gilt für jedes $\delta>0$ und für $n_1,n_2\to\infty$
  

  $$\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^n{\mathbb{E}\,}\bigl(\vert Y_{nk}\vert^{2+\delta}\bigr) = \lim\limits_{n_1,n_2\to\infty}\Biggl(\frac{{\mathbb{E}\,} \bigl(\... ...}\Bigl(\frac{\lambda_1}{n_1}+\frac{\lambda_2}{n_2}\Bigr)^{(2+\delta)/2}}\Biggr)$$

  $$= \lim\limits_{n_1,n_2\to\infty}\Biggl(\frac{ {\mathbb{E}\,}\bigl(\... ...2^{\delta/2}\Bigl(\frac{n_2\lambda_1}{n_1}+\lambda_2\Bigr)^{1+\delta/2}}\Biggr)$$

  $$\le \lim\limits_{n_1,n_2\to\infty}\Biggl( \frac{{\mathbb{E}\,}\bigl(\... ...rt^{2+\delta}\bigr)}{\displaystyle n_2^{\delta/2}\lambda_2^{1+\delta/2}}\Biggr)$$

  $$= 0\,.$$

  
  

• Damit ist auch die Gültigkeit der Bedingung (37) gezeigt, und die Behauptung (39) ergibt sich somit aus (38).
  
  $\Box$

Beachte

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Nun können wir genauso wie bei den beiden Beispielen vorgehen, die in Abschnitt 3.4.1 betrachtet worden sind.

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Aus dem starken Gesetz der großen Zahlen (vgl. Theorem WR-5.15) ergibt sich nämlich, dass für $n_1,n_2\to\infty$

$$\overline X_{in_i} \overset{\textrm{f.s.}}{\longrightarrow} \lambda_i\,,\qquad i=1,2\,.$$

 $&bull#bullet;$

Mit Hilfe des Satzes von Slutsky für die Multiplikation (vgl. Theorem WR-5.11) ergibt sich hieraus und aus Lemma 3.1, dass für jedes $\alpha\in(0,1)$

$$\lim\limits _{n_1,n_2\to\infty} P_{(\lambda_1,\lambda_2)}\Bigl(-... ...}}{n_1}+ \frac{\overline X_{2n_2}}{n_2}}} \leq z_{1-\alpha/2}\Bigr) = 1-\alpha$$ (40)

 $&bull#bullet;$

Deshalb ist mit

$$\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\overline X_{1n_1}-\overline X_... ...aystyle\sqrt{\frac{\overline X_{1n_1}}{n_1}+ \frac{\overline X_{2n_2}}{n_2}}$$

bzw.

$$\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\overline X_{1n_1}-\overline X_{... ...aystyle\sqrt{\frac{\overline X_{1n_1}}{n_1}+ \frac{\overline X_{2n_2}}{n_2}}$$

ein asymptotisches Konfidenzintervall $\bigl(\underline\theta(X_1,\ldots,X_n),\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)\bigr)$ für $\lambda_1-\lambda_2$ zum Niveau $\gamma=1-\alpha$ gegeben.

2.

$\;$ Konfidenzintervall für den Quotienten von Erwartungswerten (bei Poisson-Verteilung)

• So wie in dem vorhergehenden Beispiel nehmen wir an, dass $X_{1i}\sim$ Poi $(\lambda_1)$ und $X_{2i}\sim$ Poi $(\lambda_2)$ für (unbekannte) $\lambda_1,\lambda_2>0$ gilt, wobei jedoch der Quotient $\rho=n_1/n_2$ der beiden Stichprobenumfänge $n_1,n_2\in\mathbb{N}$ nun eine Konstante sei.
• Wir betrachten den Quotienten

  $$p=\frac{\lambda_2}{\rho\lambda_1+\lambda_2}\qquad \Biggl(=\frac{n_2\lambda_2}{n_1\lambda_1+n_2\lambda_2}\biggr)\,,$$ (41)

  
  
  wobei $n_2\lambda_2$ der Erwartungswert der Summe $X_{21}+\ldots+X_{2n_2}$ der Stichprobenvariablen in der zweiten (Teil-) Stichprobe und $n_1\lambda_1+n_2\lambda_2$ der Erwartungswert der Summe der insgesamt beobachteten Stichprobenvariablen ist.
• Um ein asymptotisches Konfidenzintervall für $p$ herzuleiten, wenden wir den zentralen Grenzwertsatz für Summen mit einer zufälligen Anzahl von (unabhängigen und identisch verteilten) Summanden an; vgl. Beispiel 3 in Abschnitt WR-5.3.2.
• Zur Erinnerung: Seien $Y_1,Y_2,\ldots$ unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit ${\mathbb{E}\,}(Y^2)<\infty$ und $\sigma^2={\rm Var\,}Y_n>0$.
• Sei $N_1,N_2,\ldots$ eine Folge von nichtnegativen und ganzzahligen Zufallvariablen, so dass $N_1\le N_2\le\ldots$ und $N_n\to\infty$ mit Wahrscheinlichkeit $1$.
• Außerdem gebe es Konstanten $a_1,a_2,\ldots>0$ und $c>0$ mit $a_1\le a_2\le\ldots$ und $a_n\to\infty$ gibt, so dass für $n\to\infty$

  $$\frac{N_n}{a_n}\stackrel{{\rm P}}{\longrightarrow}c\,.$$ (42)

  
  

• In Beispiel 3 des Abschnittes WR-5.3.2 hatten wir gezeigt, dass dann für $n\to\infty$

  $$\frac{S_{N_n}^\prime}{\sqrt{N_n}}\stackrel{{\rm d}}{\longrightarrow}Y\; \mbox{$\sim$\ {\rm N}$(0,1)$\,,}$$ (43)

  
  
  wobei $S_n^\prime=Y_1^\prime+\ldots+Y_n^\prime$ und $Y_i^\prime=(Y_i-{\mathbb{E}\,}Y_i)/\sigma$.
• Hieraus ergibt sich der folgende Hilfssatz.

Lemma 3.2   Für die Stichprobenumfänge $n_1,n_2$ gelte $n_1,n_2\to\infty$, so dass der Quotient $\rho=n_1/n_2\in(0,\infty)$ eine Konstante ist, die nicht von $n_1,n_2$ abhängt. Für die Partialsummen $S_{in_i}=X_{i1}+\ldots+X_{in_i}$, wobei $i=1,2$, gilt dann

$$\sqrt{S_{1n_1}+S_{2n_2}}\Bigl(\frac{S_{2n_2}}{S_{1n_1}+S_{2n_2}}-p\Bigr)\stackrel{{\rm d}}{\longrightarrow} Y\; \mbox{$\sim$\ {\rm N}$(0,p(1-p))$,}$$ (44)

wobei $p$ in $(\ref{quo.def.peh})$ gegeben ist.

Beweis $\;\;$  

• Aus dem starken Gesetz der großen Zahlen (vgl. Theorem WR-5.15) ergibt sich, dass
  

  $$\frac{S_{1n_1}+S_{2n_2}}{n_1\lambda_1+n_2\lambda_2} = \frac{S_{1n_1}}{n_1\lambda_1+n_2\lambda_2}+\frac{S_{2n_2}}{n_1\lambda_1+n_2\lambda_2}$$

  $$= \frac{\overline X_{1n_1}}{\lambda_1+\rho^{-1}\lambda_2}+ \frac{\overline X_{2n_2}}{\rho\lambda_1+\lambda_2}$$

  $$\stackrel{{\rm f.s.}}{\longrightarrow} \frac{\lambda_1}{\lambda_1+\rho^{-1}\lambda_2}+\frac{\lambda_2}{\rho\lambda_1+\lambda_2}$$

  $$= \frac{\rho\lambda_1}{\rho\lambda_1+\lambda_2}+\frac{\lambda_2}{\rho\lambda_1+\lambda_2}=1\,.$$

  
  

• Für $N_{n_2}=S_{1n_1}+S_{2n_2}$ ist somit die Bedingung (42) erfüllt.
• Für beliebige $n\in\mathbb{N}$ und $k\in\{0,1,\ldots,n\}$ gilt außerdem
  

  $$P_{(\lambda_1,\lambda_2)}(S_{2n_2}=k\mid S_{1n_1}+S_{2n_2}=n) = \frac{P_{(\lambda_1,\lambda_2)}(S_{2n_2}=k,\, S_{1n_1}+S_{2n_2}=n)}{P_{(\lambda_1,\lambda_2)}( S_{1n_1}+S_{2n_2}=n)}$$

  $$= \frac{P_{(\lambda_1,\lambda_2)}(S_{2n_2}=k,\, S_{1n_1}=n-k)}{P_{(\lambda_1,\lambda_2)}( S_{1n_1}+S_{2n_2}=n)}$$

  $$= \frac{\displaystyle e^{-n_2\lambda_2}\;\frac{(n_2\lambda_2)^k}{k!... ...yle e^{-(n_1\lambda_1+n_2\lambda_2)}\;\frac{(n_1\lambda_1+n_2\lambda_2)^n}{n!}}$$

  $$= \frac{n!}{k!(n-k)!}\;\Bigl(\frac{n_2\lambda_2}{n_1\lambda_1+n_2\lambda_2}\Bigr)^k \Bigl(\frac{n_1\lambda_1}{n_1\lambda_1+n_2\lambda_2}\Bigr)^{n-k}$$

  $$= {n\choose k} p^k(1-p)^{n-k}\,,$$

  
  
  wobei $p$ in (41) gegeben ist.
• Die bedingte Verteilung von $S_{2n_2}$ unter der Bedingung $\{S_{1n_1}+S_{2n_2}=n\}$ ist also die Binomialverteilung Bin$(n,p)$.
• Hieraus folgt, dass
  $$P_{(\lambda_1,\lambda_2)}\Bigl( \frac{S_{2n_2}-pn}{\sqrt{p(1-p)n... ...l(\frac{S^\prime_n}{\sqrt{n}}\le x\Bigl)\,,\qquad\forall\, x\in\mathbb{R}\,,$$
  falls $Y_i\sim$ Bin$(1,p)$ bzw. $Y_i^\prime=(Y_i-p)/\sqrt{p(1-p)}$.
• Durch beidseitiges Multiplizieren dieser Gleichung mit $P_{(\lambda_1,\lambda_2)}\bigl(N_{n_2}=n\bigl)$ und anschließendes Summieren über $n$ ergibt sich aus der Formel der totalen Wahrscheinlichkeit, dass
  $$\frac{S_{2n_2}-p(S_{1n_1}+S_{2n_2})}{\sqrt{p(1-p)(S_{1n_1}+S_{2n_2})}}\stackrel{{\rm d}}{=} \frac{S_{N_{n_2}}^\prime}{\sqrt{N_{n_2}}}\;,$$
  wobei die Zufallsvariablen $Y_1,Y_2,\ldots$ unabhängig von $N_{n_2}=S_{1n_1}+S_{2n_2}$ sind.
• Aus (43) ergibt sich nun, dass für $n_1,n_2\to\infty$
  $$\frac{S_{2n_2}-p(S_{1n_1}+S_{2n_2})}{\sqrt{p(1-p)(S_{1n_1}+S_{2n_2})}}\stackrel{{\rm d}}{\longrightarrow} Y$$   $$\mbox{$\sim$\ N$(0,1)$.}$$$$$$

• Hieraus ergibt sich die Behauptung (44).
  
  $\Box$

Beachte

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Genauso wie im Beweis von Lemma 3.2 ergibt sich, dass für $n_1,n_2\to\infty$

$$\frac{n_1\overline X_{1n_1}}{n_1\overline X_{1n_1}+n_2\overline ... ...ine X_{1n_1}+n_2\overline X_{2n_2}}\stackrel{{\rm f.s.}}{\longrightarrow}p\,.$$

 $&bull#bullet;$

Mit Hilfe des Satzes von Slutsky für die Multiplikation (vgl. Theorem WR-5.11) ergibt sich somit aus Lemma 3.2, dass für jedes $\alpha\in(0,1)$

$$\lim\limits _{n_1,n_2\to\infty} P_{(\lambda_1,\lambda_2)}\Bigl(-... ...ne X_{1n_1}+n_2\overline X_{2n_2}}}} \leq z_{1-\alpha/2}\Bigr) = 1-\alpha\,.$$

 $&bull#bullet;$

Also ist mit

$$\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\frac{n_2\overline X_{2n_2}}{n_... ... n_2\overline X_{2n_2}}{(n_1\overline X_{1n_1}+n_2\overline X_{2n_2})^3}}\;,$$

$$\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\frac{n_2\overline X_{2n_2}}{n_1... ...dot n_2\overline X_{2n_2}}{(n_1\overline X_{1n_1}+n_2\overline X_{2n_2})^3}}$$

ein asymptotisches Konfidenzintervall $\bigl(\underline\theta(X_1,\ldots,X_n),\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)\bigr)$ für $p$ zum Niveau $\gamma=1-\alpha$ gegeben.

 $&bull#bullet;$

Weil $0<p<1$ vorausgesetzt wird, ist auch $\bigl(\underline\theta^\prime(X_1,\ldots,X_n),\overline\theta^\prime(X_1,\ldots,X_n)\bigr)$ mit

$$\underline\theta^\prime(X_1,\ldots,X_n)=\max\{0,\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)\}$$   bzw.$$\qquad \overline\theta^\prime(X_1,\ldots,X_n)=\min\{1,\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)\}$$

ein asymptotisches Konfidenzintervall für $p$ zum Niveau $\gamma=1-\alpha$.