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Homogener Poisson-Prozess

In diesem Abschnitt betrachten wir zunächst den Fall, dass die ,,Zwischenankunftszeiten'' $ T_n=S_n-S_{n-1}$ zwischen den aufeinanderfolgenden Ereigniszeitpunkten $ S_1,S_2,\ldots$


Wir zeigen, wie der Zählprozess $ \{N_t,t\ge 0\}$ auf einfache Weise zu einem Zählprozess $ \{N_t,t\in\mathbb{R}\}$ auf der gesamten reellen Achse $ \mathbb{R}$ fortgesetzt werden kann, so dass $ \{N_t,t\in\mathbb{R}\}$ stationäre und unabhängige (poissonverteilte) Zuwächse hat.

Theorem 4.2   $ \;$ Sei $ \{T_n,\,n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots\}$ eine Folge von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen mit $ T_n\sim{\rm Exp}(\lambda)$ für ein $ \lambda>0$. Außerdem sei

$\displaystyle S_n=\left\{\begin{array}{rl} \sum_{k=1}^n T_k & \mbox{für $n\ge 1$,}\\  [3\jot] -\sum_{k=n}^0 T_k & \mbox{für $n\le 0$.} \end{array}\right.$ (3)

Dann hat der in % latex2html id marker 35881
$ (\ref{con.pro.rel})$ gegebene Zählprozess $ \{N_t,t\in\mathbb{R}\}$ stationäre und unabhängige Zuwächse, wobei $ \vert N_t\vert\sim{\rm Poi}(\vert t\vert\lambda)$ für jedes $ t\in\mathbb{R}$.

Beweis
 

Beachte
 

Das folgende Resultat zeigt,

Hierfür benötigen wir die folgenden Bezeichnungen. Sei $ T_{\min}=\min\{T_0,T_1\}$, und für beliebige $ t_1,t_2\in\mathbb{R}$ sei

$\displaystyle N_{t_1,t_2}=\left\{\begin{array}{ll}
N_{t_2}-N_{t_1}\,,&\mbox{fal...
..._1\le t_2$,}\\
N_{t_1}-N_{t_2}\,,&\mbox{falls $t_1>t_2$.}
\end{array}\right.
$

Theorem 4.3   $ \;$

Beweis
 


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Ursa Pantle 2005-07-13