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Allgemeines Konstruktionsprinzip für Zählprozesse mit stationären Zuwächsen

Es gelte also

$\displaystyle \{T_n\}\stackrel{{\rm d}}{=}\{T_{n+1}\}$ (6)

und damit auch $ \{T_n\}\stackrel{{\rm d}}{=}\{T_{n+n_0}\}$ für jede natürliche Zahl $ n_0\ge 1$. Außerdem setzen wir in diesem Abschnitt lediglich voraus, dass

$\displaystyle 0<\mu={\mathbb{E}\,}T_n<\infty\,.$ (7)

Beachte
 


Wir zeigen nun, wie man ausgehend von einer stationären Folge $ \{T_n\}$ von positiven Zufallsvariablen über $ (\Omega,\mathcal{F},P)$ einen Wahrscheinlichkeitsraum $ (\widetilde\Omega,\widetilde\mathcal{F},\widetilde P)$ und einen Zählprozess $ \{\widetilde N_t,\,t\in\mathbb{R}\}$ über $ (\widetilde\Omega,\widetilde\mathcal{F},\widetilde P)$ konstruieren kann, so dass $ \{\widetilde N_t\}$ stationäre Zuwächse hat.


Hierfür führen wir zunächst einige Bezeichnungen ein.

Definition
$ \;$ Ein Wahrscheinlichkeitsmaß $ P$ über $ (\mathbb{L},\mathcal{B}(\mathbb{L}))$ heißt $ {\mathbf{T}}$-invariant, wenn

$\displaystyle P({\mathbf{T}}_h (A))=P(A)\qquad\forall\, h\in\mathbb{R},\,A\in\mathcal{B}(\mathbb{L})\,,$ (10)

wobei $ {\mathbf{T}}_h (A)=\{{\mathbf{T}}_h ({\mathbf{s}}):\,{\mathbf{s}}\in A\}$.


Theorem 4.4   Sei $ Q$ ein $ {\mathbf{U}}$-invariantes Wahrscheinlichkeitsmaß über $ (\mathbb{K},\mathcal{B}(\mathbb{K}))$ mit $ 0<\mu=\int_{\mathbb{K}} t_1 \, Q({\rm d}t)<\infty$. Dann ist durch den Ansatz

$\displaystyle P_Q(A)=\frac{1}{\mu}\;\int_{\mathbb{K}}\int_0^{t_1} {1\hspace{-1m...
...r)\,{\rm d}h\,Q({\rm d}{\mathbf{t}})\qquad\forall\, A\in\mathcal{B}(\mathbb{L})$ (11)

ein $ {\mathbf{T}}$-invariantes Wahrscheinlichkeitsmaß $ P_Q$ über $ (\mathbb{L},\mathcal{B}(\mathbb{L}))$ gegeben.

Beweis
 

Beachte
$ \;$ Durch Vertauschung der Integrationsreihenfolge ergibt sich, dass (11) äquivalent ist mit

$\displaystyle P_Q(A)=\frac{1}{\mu}\;\int_0^\infty Q\bigl({\mathbf{t}}:\,t_1>h,\...
...athbf{t}})})\in A\bigr)\,{\rm d}h\qquad\forall\, A\in\mathcal{B}(\mathbb{L})\,.$ (13)

Korollar 4.1   $ \;$

Beweis
$ \;$ Die Behauptung ergibt sich unmittelbar aus der in Theorem 4.4 gezeigten $ {\mathbf{T}}$-Invarianz des Wahrscheinlichkeitsmaßes $ P_Q$.

$ \Box$

Beachte
$ \;$ Für den in Abschnitt 4.1.1 betrachteten Spezialfall, bei dem die Zwischenankunftszeiten $ T_n=S_n-S_{n-1}$ eine Folge von unabhängigen und identisch (exponentiell) verteilten Zufallsvariablen bilden, kann man sich leicht überlegen, dass dann der in (14) gegebene Zählprozess $ \{\widetilde N_t,t\in\mathbb{R}\}$ ein homogener Poisson-Prozess ist.


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Ursa Pantle 2005-07-13