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Tests linearer Hypothesen

In diesem Abschnitt diskutieren wir eine verallgemeinerte Version des Tests für Linearformen des Parametervektors $ {\boldsymbol{\beta}}=(\beta_1,\ldots,\beta_m)$, den wir in Abschnitt 3.3.5 für den Fall von Designmatrizen $ {\mathbf{X}}$ mit vollem Spaltenrang betrachtet hatten, vgl. Theorem 3.19. Jetzt nehmen wir dagegen an, daß $ {\,{\rm rg}}({\mathbf{X}})=r<m$.

Definition
$ \;$ Die Hypothese $ H_0 : {\mathbf{H}}{\boldsymbol{\beta}}={\mathbf{d}}$ heißt testbar, falls sämtliche Komponenten $ {\mathbf{h}}_1^\top{\boldsymbol{\beta}},\ldots,{\mathbf{h}}_s^\top{\boldsymbol{\beta}}$ des Vektors $ {\mathbf{H}}{\boldsymbol{\beta}}$ schätzbare Funktionen des Parametervektors $ {\boldsymbol {\beta }}$ sind.


Beachte
$ \;$ Aus Theorem 4.6 folgt, daß die Hypothese $ H_0 : {\mathbf{H}}{\boldsymbol{\beta}}={\mathbf{d}}$ genau dann testbar ist, wenn bzw.

Bei der Konstruktion einer Testgröße zur Verifizierung der in (62) betrachteten Nullhypothese $ H_0 : {\mathbf{H}}{\boldsymbol{\beta}}={\mathbf{d}}$ ist der folgende Hilfssatz nützlich.

Lemma 4.8    

Beweis
 

Beachte
 

Theorem 4.13   $ \;$ Unter $ H_0 : {\mathbf{H}}{\boldsymbol{\beta}}={\mathbf{d}}$ gilt $ T_{{\mathbf{H}}}\sim\, {\rm F}_{s,n-r}$, d.h., die in % latex2html id marker 45181
$ (\ref{tes.lin.tes.gro})$ gegebene Testgröße $ T_{{\mathbf{H}}}$ ist F-verteilt mit $ (s,n-r)$ Freiheitsgraden.

Beweis
 

Beachte
 

Wir leiten nun eine alternative Darstellung der in (65) gegebenen Testgröße $ T_{\mathbf{H}}$ her, die in manchen Fällen besser geeignet ist. Dabei betrachten wir die folgenden beiden Summen von quadratischen Abweichungen $ SSE$ bzw. $ SSE_E$ (Sums of Squared Errors) mit

$\displaystyle SSE=({\mathbf{Y}}-{\mathbf{X}}\overline{\boldsymbol{\beta}})^\top...
...dsymbol{\beta}}= ({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})^-{\mathbf{X}}^\top{\mathbf{Y}}$ (68)

und

$\displaystyle SSE_H=({\mathbf{Y}}-{\mathbf{X}}\overline{\boldsymbol{\beta}}_H)^...
...igr)^{-1} \bigl({\mathbf{H}}\overline{\boldsymbol{\beta}}-{\mathbf{d}}\bigr)\,.$ (69)

Theorem 4.14   $ \;$ Für die in % latex2html id marker 45328
$ (\ref{tes.lin.tes.gro})$ gegebene Testgröße $ T_{\mathbf{H}}$ gilt

$\displaystyle T_{\mathbf{H}}=\frac{(SSE_H-SSE)/s}{SSE/(n-r)}\;.$ (70)

Beweis
 

Beachte
 


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Ursa Pantle 2003-03-10