Verteilungs- und Unabhängigkeitseigenschaften
linearer und quadratischer Formen
Zur Erinnerung: Bei der Definition der nichtzentralen
-Verteilung in Abschnitt 3.3.3 wurde die
Quadratsumme der Komponenten von N
-verteilten
Zufallsvektoren betrachtet.
Man kann nun zeigen, daß die (entsprechend modifizierte)
Quadratsumme auch dann eine nichtzentrale -Verteilung
besitzt, wenn der betrachtete normalverteilte Zufallsvektor eine
beliebige Kovarianzmatrix hat.
Und zwar sei
, und sei
eine symmetrische
und positiv definite Matrix.
Dabei hatten wir im Beweis von Theorem 3.2 bzw. in
Lemma 3.6 gezeigt, daß die Matrix
ein Projektionsoperator ist, der den
auf den
-dimensionalen linearen Unterraum
abbildet.
Dies bedeutet insbesondere, daß
idempotent und symmetrisch
ist (vgl. Lemma 3.5 und Lemma 3.6).
Somit gilt
Außerdem gilt
, weil der Rang der (Projektions-)
Matrix
gleich der Dimension des linearen Unterraumes
ist, auf den der Operator
den
abbildet.
Hieraus und aus Theorem 3.15 ergibt sich die
Behauptung, weil
N
und weil
die Matrix
idempotent ist.
Beachte
Außerdem ist das folgende Kriterium für die Unabhängigkeit von
linearen bzw. quadratischen Formen normalverteilter
Zufallsvektoren nützlich.
Es kann als (vektorielle) Verallgemeinerung von
Lemma 2.3 aufgefaßt werden.
Aus der in Theorem 3.8 hergeleiteten
Darstellungsformel (42) für die charakteristische
Funktion von normalverteilten Zufallsvektoren und aus
(76) ergibt sich dann, daß
Wir zeigen nun noch, daß die Unabhängigkeit von
und
aus der zweiten Bedingung in
(75) folgt.
Sei
. Gemäß Lemma 3.14 gibt es
dann eine Matrix
mit
, so daß
.