Formel der totalen Wahrscheinlichkeit; Bayessche Formel

Bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit $P(A)$ eines Ereignisses $A\in\mathcal{F}$ ist es manchmal nützlich, die (unbedingte) Wahrscheinlichkeit $P(A)$ als gewichtete Summe von bedingten Wahrscheinlichkeiten darzustellen.

Hierfür ist es erforderlich, den Grundraum $\Omega$ wie folgt in (messbare) Teilmengen zu zerlegen.

Definition

$\;$ Sei $n\in\mathbb{N}$ eine beliebige natürliche Zahl, und sei $B_1,B_2,\ldots,B_n\in\mathcal{F}$ eine (endliche) Folge von Ereignissen mit den Eigenschaften

(Z1)

$B_i\cap B_j=\emptyset$ für $i\not= j$,

(Z2)

$\bigcup_{i=1}^n B_i=\Omega$,

(Z3)

$P(B_i)>0$ für alle $i=1,\ldots,n$.

Dann heißt $B_1,B_2,\ldots,B_n$ messbare Zerlegung von $\Omega$.

Theorem 2.6   Sei $A\in\mathcal{F}$ ein beliebiges Ereignis und $B_1,B_2,\ldots,B_n$ eine messbare Zerlegung von $\Omega$. Dann gilt

• Formel der totalen Wahrscheinlichkeit

  $$P (A)=\sum\limits _{j=1}^n P(B_j) P(A\mid B_j)\,,$$ (15)

  
  

• Bayessche Formel

  $$P(B_i\mid A)=\frac{P(B_i)P(A\mid B_i)}{\sum\limits _{j=1}^n P(B_j)P(A\mid B_j)}$$ (16)

  
  
  für jedes $i=1,\ldots,n$, wobei in $(\ref{bayes})$ vorausgesetzt wird, dass $P(A)>0$.

Beweis

$\;$ Aus (Z1)-(Z3) und aus der Additivität des Wahrscheinlichkeitsmaßes $P$ ergibt sich, dass

$$P(A) = P(A\cap\Omega) = P\Bigl(A\cap \bigl(\bigcup_{i=1}^n B_i\bigr)\Bigr)$$

$$= P\Bigl(\bigcup _{i=1}^n(A\cap B_i)\Bigr) = \sum_{i=1}^n P(A\cap B_i)$$

$$= \sum_{i=1}^n P(B_i)\frac{P(A\cap B_i)}{P(B_i)} = \sum_{i=1}^n P(B_i)P(A\mid B_i)\,,$$

wobei im letzten Schritt die Definitionsgleichung (13) benutzt wird. Damit ist (15) bewiesen. Aus (13) und (15) ergibt sich nun

$$P(B_i\mid A) = \frac{P(B_i\cap A)}{P(A)} = \frac{P(B_i)P(A\mid B_i)}{\sum_{j=1}^n P(B_j)P(A\mid B_j)}\;.$$

 
  $\Box$

Beachte

$\;$ Die Aussagen von Theorem 2.6 bleiben gültig, wenn anstelle einer Zerlegung von $\Omega$ in endlich viele Teilmengen eine unendliche Folge $B_1,B_2,\ldots\in\mathcal{F}$ von Ereignissen mit den Eigenschaften

(Z'1)

$B_i\cap B_j=\emptyset$ für $i\not= j$,

(Z'2)

$\bigcup_{i=1}^\infty B_i=\Omega$,

(Z'3)

$P(B_i)>0$ für alle $i=1,2,\ldots$

betrachtet wird. Die Formeln (15) und (16) sind dann lediglich wie folgt zu modifizieren:

$$P (A)=\sum_{j=1}^\infty P(B_j) P(A\mid B_j)\,,$$ (17)

bzw.

$$P(B_i\mid A)=\frac{P(B_i)P(A\mid B_i)}{\sum_{j=1}^\infty P(B_j)P(A\mid B_j)}$$ (18)

für jedes $i=1,2,\ldots$, wobei in (18) erneut vorausgesetzt wird, dass $P(A)>0$.

Beispiel

 

• Betrachten eine Fußballmannschaft, deren Siegeschance je Bundesliga-Spiel bei 75% liegt, falls ihr Kapitän in guter Form ist.
• Falls ihr Kapitän jedoch nicht in guter Form ist, dann betrage ihre Siegeschance nur 40%.
• Bei 70% aller Bundesliga-Spiele seiner Mannschaft sei der Kapitän in guter Form.
• Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass
  1. die Mannschaft ein Bundesliga-Spiel gewinnt,
  2. der Kapitän bei einem Bundesliga-Spiel in guter Form ist, obwohl die Mannschaft das Spiel nicht gewinnt.
• Lösung: Zerlegen den Grundraum $\Omega$ auf zwei verschiedene Weisen in zwei Komponenten.
• Sei $A=$ {Kapitän ist in guter Form}, $A^c=$ {Kapitän ist nicht in guter Form}
  bzw.
  $B=$ {Mannschaft gewinnt Bundesliga-Spiel}, $B^c=$ {Mannschaft gewinnt Bundesliga-Spiel nicht}
• Dann gilt $P(B\mid A)=0.75$, $P(B\mid A^c)=0.40$, $P(A)=0.70$
• Aus (15) bzw. (16) ergibt sich nun
  

  $$P(B) = P(B\mid A)P(A)+P(B\mid A^c)P(A^c)$$

  $$= 0.75\cdot 0.70+0.40\cdot 0.3=0.645$$

  
  
  bzw.
  

  $$P(A\mid B^c) = \frac{P(B^c\mid A)P(A)}{P(B^c\mid A)P(A)+ P(B^c\vert A^c) P(A^c)}$$

  $$= \frac{0.25\cdot 0.70}{0.25\cdot 0.70+0.60\cdot 0.30}=0.493\,.$$