Mit Hilfe der Darstellungsformeln des Erwartungswertes, die in
Abschnitt 4.1.2 diskutiert wurden, lassen sich weitere
Eigenschaften des Erwartungswertes von Zufallsvariablen herleiten.
Theorem 4.4
Seien
beliebige Zufallsvariablen
über einem beliebigen Wahrscheinlichkeitsraum
.
Dann gilt:
1.
Monotonie:
Falls und integrierbar sind und falls f.s., dann
gilt
(14)
Falls integrierbar ist und falls
f.s., dann ist
auch integrierbar, und es gilt
.
2.
Falls integrierbar ist, dann ist
(15)
3.
Linearität:
Falls und integrierbar sind, dann ist auch integrierbar für beliebige
, und es gilt
(16)
4.
monotone Konvergenz:
Falls f.s. für alle
und falls
f.s., dann gilt
(17)
5.
majorisierte Konvergenz und -Konvergenz:
Falls integrierbar ist, falls
f.s. für alle
und falls f.s., dann ist auch
integrierbar, und es gilt
(18)
und
(19)
6.
Falls
für ein
, dann gilt
(20)
7.
Falls integrierbar ist und falls f.s. und
,
dann gilt
f.s.
(21)
Beweis
Zu 1)
Die Ungleichung (14) ergibt sich
unmittelbar aus der Integral-Darstellung (12) des
Erwartungswertes und aus der entsprechenden Monotonie-Eigenschaft
des Lebesgue-Integrals in (12). Die andere
Teilaussage von 1. ergibt sich auf die gleiche Weise.
Zu 2)
Weil mit offenbar auch bzw. integrierbar
sind und weil bzw. , ergibt sich aus
(14), dass
bzw.
wobei sich die Gleichheit aus der Linearität des
Lebesgue-Integrals ergibt.
Zu 3)
Die Integrierbarkeit von ergibt sich
unmittelbar aus der Ungleichung
aus (14) und aus der Linearität des
Lebesgue-Integrals, denn es gilt
Die Gültigkeit von (16) folgt dann ebenfalls aus
der Linearität des Lebesgue-Integrals.
Zu 4/5)
Diese Teilaussagen ergeben sich unmittelbar aus
dem Sätzen über die monotone bzw. majorisierte Konvergenz von
Lebesgue-Integralen.
Zu 6)
Falls
für ein
, dann
ergibt sich aus der Darstellungsformel (6) für den
Erwartungswert diskreter Verteilungen, dass
vgl. auch den ersten Teil des Beweises von
Theorem 4.3.
Zu 7)
Sei integrierbar, und es gelte f.s. und
.
Wir führen einen indirekten Beweis und nehmen an, dass .
Wegen der Stetigkeitseigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen
(vgl. Theorem 2.3) gilt dann auch
für ein
. Hieraus und aus
(14) folgt, dass
Dies ist aber im Widerspruch zu
.
Korollar 4.2
Sei
eine beliebige, jedoch fest vorgegebene natürliche
Zahl, und seien
beliebige Zufallsvariablen
mit
. Dann gilt
für beliebige Konstanten
(22)
Beweis
Die Behauptung ergibt sich aus (16) mittels vollständiger
Induktion.
Beispiel
(wiederholtes Würfeln)
Betrachten den Wahrscheinlichkeitsraum
, der in
Abschnitt 4.1.1
eingeführt worden ist.
Betrachten die Zufallsvariablen
, wobei die
zufällige Augenzahl ist, die beim -ten Würfeln erzielt
wird.
Dann gilt
Aus Korollar 4.2 ergibt sich dann für den Erwartungswert
der mittleren Augenzahl
bei -maligem Würfeln