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Integral-Darstellung mittels Quantilfunktion

Die folgenden beiden Eigenschaften von verallgemeinerten inversen Funktionen führen zu einer weiteren nützlichen Integral-Darstellung des Erwartungswertes.

Lemma 4.1   Sei $ F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ eine nichtfallende und rechtsseitig stetige Funktion, und sei $ F^{-1}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ die verallgemeinerte inverse Funktion mit

$\displaystyle F^{-1}(y)=\inf\{x:\, F(x)\ge y\}\,,$ (23)

wobei $ \inf\emptyset=\infty$ gesetzt wird. Dann gilt:
1.
$ \;$ $ F^{-1}$ ist nichtfallend.
2.
$ \;$ Es gilt $ y\le F(x)$ genau dann, wenn $ F^{-1}(y)\le x$.

Beweis
 

Definition
$ \;$ Die verallgemeinerte inverse Funktion $ F_X^{-1}$ der Verteilungsfunktion $ F_X$ einer beliebigen Zufallsvariable $ X:\Omega\to\mathbb{R}$ heißt Quantilfunktion von $ X$.

Lemma 4.2   Seien $ v,w:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ zwei nichtfallende und rechtsseitig stetige Funktionen. Für jede Zufallsvariable $ X:\Omega\to\mathbb{R}$ gilt dann für fast jedes $ y\in[0,1]$

$\displaystyle F_{v(X)+w(X)}^{-1}(y)=F_{v(X)}^{-1}(y)+F_{w(X)}^{-1}(y)\,.$ (24)

Beweis
 

Theorem 4.5   Falls $ X$ integrierbar ist, dann lässt sich $ {\mathbb{E}\,}X$ darstellen in der Form

$\displaystyle {\mathbb{E}\,}X=\int\limits_0^1 F_X^{-1}(y)\, dy\,,$ (25)

wobei $ F_X^{-1}(y)=\inf\{x:\, F_X(x)\ge y\}$ die verallgemeinerte inverse Funktion der Verteilungsfunktion $ F_X$ ist.

Beweis
 


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Ursa Pantle 2004-05-10