Transformationssatz und Berechnungsformeln

Bei der praktischen Berechnung der Varianz ist der folgende Transformationssatz für Erwartungswerte nützlich.

Theorem 4.7   Sei $X:\Omega\to\mathbb{R}$ eine beliebige Zufallsvariable, und sei $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ eine Borel-messbare Abbildung, so dass

$$\int\limits_{-\infty}^\infty\vert\varphi(x)\vert P_X(dx)<\infty\,.$$ (30)

Für den Erwartungswert ${\mathbb{E}\,}\varphi(X)$ von $\varphi(X):\Omega\to\mathbb{R}$ gilt dann

$${\mathbb{E}\,}\varphi(X)= \int\limits_{-\infty}^\infty\varphi(x)P_X(dx)\,.$$ (31)

Beweis

 

• Wir führen den Beweis mittels algebraischer Induktion, vgl. auch den Beweis von Theorem 4.3, wo die gleiche Beweismethode verwendet wurde.
• Zunächst nehmen wir an, dass $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ eine Linearkombination von Indikatoren ist, d.h., es gelte
  $$\varphi(x)=\sum\limits_{i=1}^n a_i{1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{B_i}(x)\qquad \forall \, x\in\mathbb{R}\,,$$
  wobei $n\in\mathbb{N}$, $a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{R}$ und $B_1,\ldots,B_n\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$.
• Dann ist $\varphi(X)$ eine diskrete Zufallsvariable mit
  $$\varphi(X)=\sum\limits_{i=1}^n a_i{1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{\{X\in B_i\}}\,.$$

• Aus der Linearität des Erwartungswertes und aus der Berechnungsformel (6) ergibt sich nun, dass
  

  $${\mathbb{E}\,}\varphi(X) = \sum\limits_{i=1}^n a_i{\mathbb{E}\,} {1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{\{X\in B_i\}} = \sum\limits_{i=1}^n a_i P(X\in B_i)$$

  $$= \sum\limits_{i=1}^n a_i \int\limits_{-\infty}^\infty{1\hspace{-1m... ...nfty\Bigl(\sum\limits_{i=1}^n a_i {1\hspace{-1mm}{\rm I}}_{B_i}(x)\Bigr)P_X(dx)$$

  $$= \int\limits_{-\infty}^\infty \varphi(x)P_X(dx)\,.$$

  
  

• Sei jetzt $\varphi$ eine beliebige Borel-messbare Abbildung mit $\varphi(x)\ge 0$ für jedes $x\in\mathbb{R}$.
• Dann gibt es eine monotone Folge $\varphi_1,\varphi_2,\ldots$ von Linearkombinationen von Indikatoren, so dass $\varphi_n(x)\uparrow\varphi(x)$ für jedes $x\in\mathbb{R}$
• und damit auch $\varphi_n(X)(\omega)\uparrow\varphi(X)(\omega)$ für jedes $\omega \in \Omega$.
• Durch (zweimalige) Anwendung des Satzes über die monotone Konvergenz ergibt sich somit, dass
  

  $${\mathbb{E}\,}\varphi(X) = {\mathbb{E}\,}\lim\limits_n\varphi_n(X) = \lim\limits_n{\mathbb{E}\,}\varphi_n(X)$$

  $$= \lim\limits_n\int\limits_{-\infty}^\infty\varphi_n(x)P_X(dx)$$

  $$= \int\limits_{-\infty}^\infty\lim\limits_n\varphi_n(x)P_X(dx)$$

  $$= \int\limits_{-\infty}^\infty \varphi(x)P_X(dx)\,.$$

  
  

• Sei schließlich $\varphi(X)$ eine beliebige integrierbare Zufallsvariable.
• Dann betrachten wir die Zerlegung $\varphi(X)=\varphi^+(X)-\varphi^-(X)$ von $\varphi(X)$ in den positiven Teil $\varphi^+(X)$ bzw. in den negativen Teil $\varphi^-(X)$.
• Aus der Linearität des Erwartungswertes ergibt sich dann
  

  $${\mathbb{E}\,}\varphi(X) = {\mathbb{E}\,}\bigl(\varphi^+(X)-\varphi^-(X)\bigr) = {\mathbb{E}\,} \varphi^+(X)-{\mathbb{E}\,}\varphi^-(X)$$

  $$= \int\limits_{-\infty}^\infty\varphi^+(x)P_X(dx) -\int\limits_{-\infty}^\infty\varphi^-(x)P_X(dx)$$

  $$= \int\limits_{-\infty}^\infty\Bigl(\varphi^+(x) -\varphi^-(x)\Bigr)P_X(dx)$$

  $$= \int\limits_{-\infty}^\infty \varphi(x)P_X(dx)\,.$$

  
  
  
   
    $\Box$
  
  
  

Korollar 4.3   Sei $X:\Omega\to\mathbb{R}$ eine beliebige Zufallsvariable, und sei $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ eine beliebige Borel-messbare Abbildung.

1.

$\;$ Falls $X$ diskret ist mit $P(X\in C) =1$ für eine abzählbare Menge $C\subset \mathbb{R}$, dann gilt

$${\mathbb{E}\,}\varphi(X)=\sum\limits _{x\in C}\varphi(x)P(X=x)\,,$$ (32)

wobei vorausgesetzt wird, dass $\sum\limits _{x\in C}\vert\varphi(x)\vert P(X=x)<\infty$.

2.

$\;$ Falls $X$ absolutstetig ist mit der Dichte $f_X$, dann gilt

$${\mathbb{E}\,}\varphi(X)=\int\limits ^{\infty}_{-\infty} \varphi(x)\, f_{X}(x)\, dx\,,$$ (33)

wobei vorausgesetzt wird, dass $\int\limits ^{\infty}_{-\infty} \vert\varphi(x)\vert\, f_{X}(x)\, dx<\infty$.

Beweis

 

• Sei $X$ diskret. Dann ergibt sich (32) unmittelbar aus der Transformationsformel (31).
• Sei nun $X$ absolutstetig. Dann ergibt sich (33) aus (31) und aus (3.13).
  
  $\Box$

Beispiele

 

1. Binomialverteilung
   • Sei $X$ binomialverteilt mit den Parametern $n\in\mathbb{N}$ und $p\in[0,1]$.
   • In Abschnitt 4.1.1 wurde gezeigt, dass ${\mathbb{E}\,}X=np$.
   • Analog ergibt sich aus Korollar 4.3, dass
     

     $${\mathbb{E}\,}(X^2) = \sum_{i=1}^n i^2 P(X=i)$$

     $$= \sum_{i=1}^n \bigl(i(i-1)+i\bigr)P(X=i)$$

     $$= \sum_{i=1}^n i(i-1)P(X=i)+ \sum_{i=1}^n i P(X=i)$$

     $$= n(n-1)p^2 + np\,.$$

     
     

   • Also ergibt sich aus (27), dass
     

     $${\rm Var\,}X = {\mathbb{E}\,}(X^2)-({\mathbb{E}\,}X)^2$$

     $$= n(n-1)p^2+np-(np)^2 = np(1-p)\,.$$

     
     

2. Normalverteilung
   • Sei $X$ normalverteilt mit den Parametern $\mu\in\mathbb{R}$ und $\sigma>0$.
   • In Abschnitt 4.1.1 wurde gezeigt, dass ${\mathbb{E}\,}X=\mu$.
   • Somit ergibt sich aus (26) und (33), dass
     

     $${\rm Var\,}X = {\mathbb{E}\,}((X-\mu)^2) =\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int\limits... ...(-\frac{1}{2}\Bigl(\underbrace{\frac{x-\mu }{\sigma }}_{=t}\Bigr)^2 \Bigr)\, dx$$

     $$= \sigma ^{2}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits ^{\infty }_{-\infty }t^2\exp \Bigl(-\underbrace{\frac{1}{2}t^{2}}_{=u}\Bigr)\, dt$$

     $$= \sigma ^{2}\frac{2}{\sqrt{2\pi}} \int\limits ^{\infty }_{0} \sqrt{2u}\exp (-u)\, du$$

     $$= \sigma ^{2}\frac{2}{\sqrt{\pi}} \underbrace{\int\limits ^\infty_0... ...le\Gamma(3/2) =\displaystyle\frac{1}{2}\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}/2 } = \sigma^2\,.$$

     
     

Beachte

 

• Die Parameter (und damit die Wahrscheinlichkeitsfunktion bzw. die Dichte) von Binomial- bzw. Normalverteilung sind jeweils eindeutig durch den Erwartungswert und die Varianz dieser Verteilungen festgelegt.
• Für die Normalverteilung ist dies offensichtlich. Denn, wie soeben gezeigt, gilt ${\mathbb{E}\,}X=\mu$ und ${\rm Var\,}X=\sigma^2$, falls $X\sim$ N $(\mu,\sigma^2)$.
• Sei nun $Y\sim$ Bin$(n,p)$. Dann kann man sich leicht überlegen, dass
  $$n=\frac{\mu^2}{\mu-\sigma^2}\;,\qquad p=\frac{\mu-\sigma^2}{\mu}\;,$$
  wobei

  $$\mu={\mathbb{E}\,}Y=np \qquad \sigma^2={\rm Var\,}Y=np(1-p)\,.$$ (34)

  
  

• Im allgemeinen wird die Verteilung einer Zufallsvariablen jedoch nicht eindeutig durch den Erwartungswert und die Varianz bestimmt.
• Beispiel.$\;$ Der Erwartungswert und die Varianz von $X\sim$ N $(\mu,\sigma^2)$ stimmen mit dem Erwartungswert und der Varianz von $Y\sim$ Bin$(n,p)$ überein, falls $\mu$ und $\sigma^2$ durch (34) gegeben sind.