Konfidenzbereiche

• Bei der Konstruktion von Konfidenzbereichen gehen wir ähnlich wie in Abschnitt 2.2.4 vor, wo der Fall betrachtet wurde, dass die Designmatrix ${\mathbf{X}}$ vollen Rang ${ {\rm rg}}({\mathbf{X}})=m$ hat. Dabei nehmen wir jetzt allerdings so wie in Abschnitt 3.3.2 an, dass ${ {\rm rg}}({\mathbf{X}})=r<m$.
• Sei $s\in\{1,\ldots,m\}$, und ${\mathbf{H}}$ sei eine $s\times m$ Matrix mit vollem Rang ${ {\rm rg}}({\mathbf{H}})=s$, deren Eintragungen bekannt seien, wobei ${\mathbf{H}}=({\mathbf{h}}_1,\ldots,{\mathbf{h}}_s)^\top$.
• Dann ergibt sich unmittelbar aus Theorem 3.15 der folgende Konfidenzbereich für den Vektor ${\mathbf{H}}{\boldsymbol{\beta}}$ zum Niveau $1-\alpha\in(0,1)$.

Theorem 3.17   $\;$ Sämtliche Komponenten ${\mathbf{h}}_1^\top{\boldsymbol{\beta}},\ldots,{\mathbf{h}}_s^\top{\boldsymbol{\beta}}$ des Vektors ${\mathbf{H}}{\boldsymbol{\beta}}$ seien schätzbare Funktionen von ${\boldsymbol {\beta }}$. Dann ist der (zufällige) Ellipsoid

$$E=\Bigl\{{\mathbf{d}}\in\mathbb{R}^s: \frac{\bigl({\mathbf{H}}\o... ...dsymbol{\beta}}-{\mathbf{d}}\bigr)}{s S^2}\le {\rm F}_{s,n-r,1-\alpha}\Bigr\}$$ (77)

ein Konfidenzbereich für ${\mathbf{H}}{\boldsymbol{\beta}}$ zum Niveau $1-\alpha\in(0,1)$, wobei $\overline {\boldsymbol {\beta }}$ und $S^2$ die in $(\ref{los.sig.sig})$ bzw. $(\ref{def.ess.qua})$ gegebenen Schätzer für ${\boldsymbol {\beta }}$ bzw. $\sigma ^2$ sind.

Aus Theorem 3.17 ergibt sich insbesondere das folgende Resultat.

Korollar 3.1   $\;$ Für jedes $i\in\{1,\ldots,s\}$ ist durch

$$(\underline\theta,\overline\theta)=\Bigl({\mathbf{h}}_i^\top\over... ...\sqrt{{\mathbf{h}}_i^\top({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})^-{\mathbf{h}}_i}\Bigr)$$ (78)

ein Konfidenzintervall $(\underline\theta,\overline\theta)$ für ${\mathbf{h}}_i^\top{\boldsymbol{\beta}}$ zum Niveau $1-\alpha\in(0,1)$ gegeben.

Beispiel

 

• Wir betrachten das folgende lineare Modell, vgl. N. Ravishanker und D.K. Dey (2002) A First Course in Linear Model Theory, Chapman & Hall/CRC, S. 235:
  $$\left(\begin{array}{c} Y_1 Y_2 Y_3\end{array}\right)=\left(... ...y}{c} \varepsilon _1 \varepsilon _2\\ \varepsilon _3\end{array}\right) ,$$
  wobei ${\boldsymbol{\varepsilon }}=(\varepsilon _1, \varepsilon _2, \varepsilon _3)^\top\sim {\rm N}({\mathbf{o}},\sigma^2{\mathbf{I}})$.
• Mit Hilfe von Korollar 3.1 soll ein Konfidenzintervall für $\beta_1+\beta_2/3+2\beta_3/3$ zum Niveau $1-\alpha=0.95$ bestimmt werden.
• Weil ${ {\rm rg}}({\mathbf{X}})=2<m=3$, muss zunächst geprüft werden, ob

  $${\mathbf{h}}^\top{\boldsymbol{\beta}}=\beta_1+\beta_2/3+2\beta_3/3$$ (79)

  
  
  mit ${\mathbf{h}}^\top=(1,1/3,2/3)$ eine erwartungstreu schätzbare Funktion von ${\boldsymbol{\beta}}^\top=(\beta_1,\beta_2,\beta_3)$ ist.
  • Gemäß Kriterium 1 in Theorem 3.9 ist dies genau dann der Fall, wenn es ein ${\mathbf{c}}^\top=(c_1,c_2,c_3)\in\mathbb{R}^3$ gibt, so dass ${\mathbf{h}}^\top={\mathbf{c}}^\top{\mathbf{X}}$, d.h., wenn
    

    $$1 = c_1+c_2+c_3$$

    $$1/3 = c_1+c_3$$

    $$2/3 = c_2 .$$

    
    

  • Weil dieses Gleichungssystem offenbar lösbar ist, ist somit ${\mathbf{h}}^\top{\boldsymbol{\beta}}$ schätzbar.
• Außerdem gilt
  $${\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}}=\left(\begin{array}{ccc}3&2&1 2&2&0 1&0&1\end{array}\right) ,$$
  und eine verallgemeinerte Inverse von ${\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}}$ ist gegeben durch:
  $$({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})^-=\left(\begin{array}{ccc}1&-1&0 -1&3/2&0 0&0&0\end{array}\right) .$$

• Hieraus folgt, dass ${\mathbf{h}}^\top({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})^-{\mathbf{h}}=1/2$ und
  $$({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})^-{\mathbf{X}}^\top=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0 1/2&-1&1/2 0&0&0\end{array}\right)$$   bzw.$$\qquad\overline{\boldsymbol{\beta}}=({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}... ...f{Y}}= \left(\begin{array}{c}Y_2 (Y_1-2Y_2+Y_3)/2 0\end{array}\right) .$$

• Somit ergibt sich, dass $({\mathbf{X}}\overline{\boldsymbol{\beta}})^\top=\bigl((Y_1+Y_3)/2,Y_2,(Y_1+Y_3)/2\bigr)$ bzw.
  $${\mathbf{h}}^\top\overline{\boldsymbol{\beta}}=(Y_1+4Y_2+Y_3)/6$$   und$$\qquad S^2=(Y_1-Y_3)^2/2 .$$

• Das gesuchte Konfidenzintervall $(\underline\theta,\overline\theta)$ für ${\mathbf{h}}^\top{\boldsymbol{\beta}}$ zum Niveau $1-\alpha=0.95$ hat also die Form
  $$(\underline\theta,\overline\theta) =\Bigl((Y_1+4Y_2+Y_3)/6-Z , (Y_1+4Y_2+Y_3)/6+ Z\Bigr)$$
  wobei $Z=t_{1,0.975}\vert Y_1-Y_3\vert/2$.

In Verallgemeinerung von Theorem 2.12 leiten wir nun ein so genanntes Scheffé-Konfidenzband her, d.h. simultane Konfidenzintervalle für eine ganze Klasse von schätzbaren Funktionen des Parametervektors ${\boldsymbol {\beta }}$.

• Sei $s\in\{1,\ldots,m\}$, und ${\mathbf{H}}$ sei erneut eine $s\times m$ Matrix mit vollem Rang ${ {\rm rg}}({\mathbf{H}})=s$, wobei ${\mathbf{H}}=({\mathbf{h}}_1,\ldots,{\mathbf{h}}_s)^\top$, so dass sämtliche Komponenten ${\mathbf{h}}_1^\top{\boldsymbol{\beta}},\ldots,{\mathbf{h}}_s^\top{\boldsymbol{\beta}}$ des Vektors ${\mathbf{H}}{\boldsymbol{\beta}}$ schätzbare Funktionen von ${\boldsymbol {\beta }}$ sind.
• Weil ${\mathbf{H}}$ vollen (Zeilen-) Rang hat, sind die Vektoren ${\mathbf{h}}_1,\ldots,{\mathbf{h}}_s$ linear unabhängig und bilden die Basis eines $s$-dimensionalen linearen Unterraumes in $\mathbb{R}^m$, den wir mit $\mathcal{L}=\mathcal{L}({\mathbf{h}}_1,\ldots,{\mathbf{h}}_s)$ bezeichnen.
• Wegen Theorem 3.10 ist ${\mathbf{h}}^\top{\boldsymbol{\beta}}$ für jedes ${\mathbf{h}}\in\mathcal{L}$ eine schätzbare Funktionen von ${\boldsymbol {\beta }}$.
• Gesucht ist eine Zahl $a_\gamma>0$, so dass mit der (vorgegebenen) Wahrscheinlichkeit $\gamma\in(0,1)$

  $${\mathbf{h}}^\top\overline{\boldsymbol{\beta}}-a_\gamma Z_{\mathb... ...beta}}\le{\mathbf{h}}^\top\overline{\boldsymbol{\beta}}+a_\gamma Z_{\mathbf{h}}$$ (80)

  
  
  gleichzeitig für jedes ${\mathbf{h}}\in\mathcal{L}$ gilt, wobei $Z_{\mathbf{h}}= S\sqrt{{\mathbf{h}}^\top({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})^-{\mathbf{h}}}$ und $\overline {\boldsymbol {\beta }}$ bzw. $S^2$ die in $(\ref{los.sig.sig})$ bzw. $(\ref{def.ess.qua})$ gegebenen Schätzer für ${\boldsymbol {\beta }}$ bzw. $\sigma ^2$ sind.

Theorem 3.18   $\;$ Sei $a_\gamma=\sqrt{s {\rm F}_{s,n-r,\gamma}}$. Dann gilt

$$\mathbb{P}_{\boldsymbol{\beta}}\Biggl(\max\limits_{{\mathbf{h}}\i... ...op({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})^-{\mathbf{h}}}\le a_\gamma^2\Biggr)=\gamma .$$ (81)

Beweis

 

• Ähnlich wie im Beweis von Theorem 2.12 ergibt sich aus der Ungleichung von Cauchy-Schwarz für Skalarprodukte, vgl. (66), dass
  $$\bigl({\mathbf{H}}\overline{\boldsymbol{\beta}}-{\mathbf{H}}{\bol... ...bf{H}}({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})^-{\mathbf{H}}^\top\bigr){\mathbf{x}}}\;,$$
  wobei sich das Maximum über sämtliche Vektoren ${\mathbf{x}}\in\mathbb{R}^s$ mit ${\mathbf{x}}\not={\mathbf{o}}$ erstreckt.
• Hieraus und aus Theorem 3.15 ergibt sich nun, dass
  

  $$\gamma = \mathbb{P}_{\boldsymbol{\beta}}\Bigl(\bigl({\mathbf{H}}\overline{... ...}}-{\mathbf{H}}{\boldsymbol{\beta}}\bigr)\le sS^2 {\rm F}_{s,n-r,\gamma}\Bigr)$$

  $$= \mathbb{P}_{\boldsymbol{\beta}}\Biggl(\max\limits_{{\mathbf{x}}\n... ...})^-{\mathbf{H}}^\top\bigr){\mathbf{x}}}\le sS^2 {\rm F}_{s,n-r,\gamma}\Biggr)$$

  $$= \mathbb{P}_{\boldsymbol{\beta}}\Biggl(\max\limits_{{\mathbf{x}}\n... ...f{X}})^-({\mathbf{H}}^\top{\mathbf{x}})}\le sS^2 {\rm F}_{s,n-r,\gamma}\Biggr)$$

  $$= \mathbb{P}_{\boldsymbol{\beta}}\Biggl(\max\limits_{{\mathbf{h}}\i... ...{X}}^\top{\mathbf{X}})^-{\mathbf{h}}}\le sS^2 {\rm F}_{s,n-r,\gamma}\Biggr) .$$

  
  
  
   
    $\Box$