Lineares Modell mit normalverteilten Störgrößen

• Für das in Abschnitt 2.2 betrachtete lineare Modell

  $${\mathbf{Y}}={\mathbf{X}}{\boldsymbol{\beta}}+{\boldsymbol{\varepsilon }}$$ (14)

  
  
  mit normalverteilten Störgrößen ${\boldsymbol{\varepsilon }}=(\varepsilon _1,\ldots,\varepsilon _n)^\top\sim{\rm N}({\mathbf{o}},\sigma^2{\mathbf{I}})$ gilt

  $$Y_i\sim{\rm N}(\mu_i,\sigma^2) \mbox{mit $\mu_i={\mathbf{x}}_i^\top{\boldsymbol{\beta}} ,\qquad\forall\; i=1,\ldots,n$,}$$ (15)

  
  
  wobei wir voraussetzen, dass $\sigma ^2$ bekannt ist.
• Die Verteilung von $Y_i$ gehört dann zu der in Abschnitt 4.1.1 betrachteten einparametrischen Exponentialfamilie, denn die Dichte $f(y;\theta_i)$ von $Y_i$ lässt sich in der folgenden Form darstellen, wobei $\theta_i=\mu_i$ für jedes $i=1,\ldots,n$:
  • Es gilt
    $$f(y;\theta_i)\;=\;\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\;\exp\Bigl(-\;\fr... ...( y\theta_i+a(y,\tau)-b(\theta_i)\bigr)\Bigr) \qquad\forall\;y\in\mathbb{R} ,$$

  • wobei

    $$\tau^2=\sigma^2 ,\qquad a(y)=-\;\frac{y^2}{2} \qquad b(\theta_i)=\frac{\theta_i^2}{2}\;+\log\sqrt{2\pi}\sigma^3 .$$ (16)

    
    

• Wegen (15) gilt für die Linkfunktion $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ offenbar, dass $g(x)=x$ für jedes $x\in\mathbb{R}$.
  • Außerdem ergibt sich aus (16), dass $x=b^{(1)}(x)$ für jedes $x\in\mathbb{R}$.
  • Somit gilt $g(x)=x=\psi(x)$ für jedes $x\in\mathbb{R}$, d.h., durch $g(x)=x$ ist die natürliche Linkfunktion gegeben.