Modellbeschreibung; Mediantest

• Wir kehren nun wieder zu dem Fall zurück, dass die Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$ unabhängig und identisch verteilt sind, mit der Verteilungsfunktion $F:\mathbb{R}\to[0,1]$.
  • Am Ende von Abschnitt 6.1.1 hatten wir im Zusammenhang mit dem Binomial- bzw. Vorzeichentest einen Mediantest diskutiert, um die Hypothese

    $$H_0: \gamma_{0.5}=0$$ (9)

    
    
    zu verifizieren, wobei $\gamma_{0.5}$ ein Median von $F$ ist, d.h., $F(\gamma_{0.5})=0.5$.
  • In diesem Abschnitt betrachten wir einen weiteren (effizienteren) Ansatz, um die in (9) gegebene Hypothese zu testen.
• Dabei nehmen wir an, dass die Verteilungsfunktion $F$ der Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$ zu der folgenden (nichtparametrischen) Klasse von Verteilungsfunktionen gehört.
  • Sei $G:\mathbb{R}\to[0,1]$ eine beliebige stetige Verteilungsfunktion, die die folgende Symmetrieeigenschaft bezüglich des Nullpunktes besitzt: Für jedes $x\in\mathbb{R}$ gelte $G(-x)=1-G(x)$.
  • Hieraus folgt insbesondere, dass $G(0)=1/2$, d.h., der Nullpunkt ist ein Median von $G$.
  • Die Familie $\Delta$ von Verteilungsfunktionen der Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$, die beim (zweiseitigen) Wilcoxon-Test in Betracht gezogenen wird, sei gegeben durch $\Delta=\bigl\{F_\delta: F_\delta(x)=G(x-\delta)\;\forall x,\delta\in\mathbb{R}\bigr\}$.
  • Weil $G$ stetig ist, gilt dann für jedes $x\in\mathbb{R}$ und für beliebige $i,j=1,\ldots,n$ mit $i\not=j$

    $$\mathbb{P}(X_i=x)=\mathbb{P}(X_i=X_j)=0 .$$ (10)

    
    

• Wir diskutieren das (zweiseitige) Testproblem $H_0: \delta=\delta_0$ vs. $H_1: \delta\not=\delta_0$ für ein $\delta_0\in\mathbb{R}$.
  • Dabei können wir (o.B.d.A.) $\delta_0=0$ setzen; ansonsten können die transformierten Stichprobenvariablen $X^\prime_1,\ldots,X^\prime_n$ mit $X_i^\prime=X_i-\delta_0$ betrachtet werden.
  • Auf ähnliche Weise kann auch das (einseitige) Testproblem $H_0: \delta=0$ vs. $H_1: \delta>0$ behandelt werden.
• Zur Verifizierung der Nullhypothese $H_0: \delta=0$ betrachten wir die Ränge $R_1,\ldots,R_n$ der Zufallsvariablen $\vert X_1\vert,\ldots,\vert X_n\vert$ mit
  $$R_i=\sum\limits_{j=1}^n {\bf 1}_{\{\vert X_j\vert\le\vert X_i\vert\}}\qquad\forall i=1,\ldots,n ,$$
  wobei die Indikatorvariable ${\bf 1}_{\{\vert X_j\vert\le\vert X_i\vert\}}:\Omega\to\{0,1\}$ gegeben ist durch
  $${\bf 1}_{\{\vert X_j\vert\le\vert X_i\vert\}}(\omega)= \left\{\be... ...)\vert\le\vert X_i(\omega)\vert$,}\\ 0 , & \mbox{sonst.} \end{array}\right.$$

• Dabei betrachten wir die Teststatistiken

  $$T^+_n=\sum\limits_{i=1}^n R_i{\bf 1}_{\{X_i>0\}} \qquad T^-_n=\sum\limits_{i=1}^n R_i{\bf 1}_{\{X_i<0\}} .$$ (11)

  
  

Beachte

 

• Wegen (10) gilt mit Wahrscheinlichkeit $1$

  $$T^-_n\;=\;\sum\limits_{i=1}^n R_i-T^+_n \;=\; {n+1\choose 2}- T^+_n .$$ (12)

  
  

• Man kann zeigen, dass $T^-_n \;\stackrel{{\rm d} }{=}\; T^+_n$ unter $H_0: \delta=0$ gilt; vgl. (18).
• Unter $H_0: \delta=0$ sollten daher die Teststatistiken $T^+_n$ und $T^-_n$ etwa gleich große Werte annehmen. Wegen (12) bedeutet dies, dass dann $T^+_n\approx {n+1\choose 2}/2$.
• Sehr kleine oder sehr große Werte von $T^+_n$ sprechen daher für die Alternativhypothese $H_1: \delta\not=\delta_0$, d.h., $H_0: \delta=0$ wird abgelehnt, wenn

  $$T^+_n\le t_{\alpha/2} \qquad T^+_n\ge t_{1-\alpha/2} ,$$ (13)

  
  
  wobei die ,,kritischen Werte'' $t_{\alpha/2}$ und $t_{1-\alpha/2}$ das $(\alpha/2)$-Quantil bzw. das $(1-\alpha/2)$-Quantil der Verteilung von $T^+_n$ sind.