Zweistichproben-Probleme

• In diesem Abschnitt diskutieren wir nichtparametrische Tests für den Fall, dass zwei unabhängige Zufallsstichproben $(X_1,\ldots,X_{n_1})$ und $(Y_1,\ldots,Y_{n_2})$ beobachtet werden.
• Mit anderen Worten: Wir nehmen an, dass die Zufallsvariablen $X_1,\ldots,X_{n_1},Y_1,\ldots,Y_{n_2}$ vollständig unabhängig sind mit den (unbekannten) Verteilungsfunktionen $F$ bzw. $G$, d.h.,
  $$F(x)=\mathbb{P}(X_i\le x)$$   und$$\qquad G(y)=\mathbb{P}(Y_j\le y)\qquad\forall x,y\in\mathbb{R},\;i=1,\ldots,n, j=1,\ldots,m .$$

• Ein (zweiseitiges) Testproblem ist dann beispielsweise gegeben durch

  $$H_0: F(x)=G(x)\quad\forall x\in\mathbb{R} \qquad\qquad H_1: F(x)\not=G(x)\quad\exists x\in\mathbb{R} .$$ (26)

  
  

• Als einseitige Alternativen zu $H_0: F(x)=G(x)\;\forall x\in\mathbb{R}$ können zum Beispiel die folgenden Hypothesen betrachtet werden:

  $$H_1: F(x)\ge G(x)\quad\forall x\in\mathbb{R} \quad F(x)>G(x)\quad\exists x\in\mathbb{R}$$ (27)

  
  
  bzw.

  $$H_1: F(x)\le G(x)\quad\forall x\in\mathbb{R} \quad F(x)<G \quad\exists x\in\mathbb{R}$$ (28)