Iterationstest von Wald-Wolfowitz

• Zur Untersuchung des in (26) gegebenen Testproblems kann der Iterationstest auf Zufälligkeit angewendet werden, der in Abschnitt 6.1.2 diskutiert worden ist.
  • Hierfür vereinigen wir die Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_{n_1}$ und $Y_1,\ldots,Y_{n_2}$ zu einer Zufallsstichprobe
    $$(X_1^\prime,\ldots,X_n^\prime)=(X_1,\ldots,X_{n_1},Y_1,\ldots,Y_{n_2}) ,$$   $$\mbox{wobei $n=n_1+n_2$,}$$$$$$
    und betrachten die geordnete Stichprobe $(X_{(1)}^\prime,\ldots,X_{(n)}^\prime)$.
  • Dabei setzen wir voraus, dass die Verteilungsfunktionen $F$ und $G$ stetig sind, d.h., die Abbildung
    $$(X_1^\prime,\ldots,X_n^\prime)\mapsto (X_{(1)}^\prime,\ldots,X_{(n)}^\prime)$$
    ist mit Wahrscheinlichkeit $1$ eindeutig festgelegt.
• Unter $H_0: F(x)=G(x)\;\forall x\in\mathbb{R}$ ist zu erwarten, dass die $X_i$'s und $Y_j$'s in $(X_{(1)}^\prime,\ldots,X_{(n)}^\prime)$ ,,gut gemischt'' sind,
  • weil dann die Stichprobenvariablen $X_{(1)}^\prime,\ldots,X_{(n)}^\prime$ unabhängig und identisch verteilt sind.
  • Wenn als Alternative die Tendenz zur ,,Klumpen- bzw. Clusterbildung'' betrachtet wird, dann wird $H_0$ abgelehnt, wenn die Anzahl $T$ der Iterationen in der (binären) Stichprobe $(Z_1,\ldots,Z_n)$ ,,zu klein'' ist, wobei $Z_i=0$, wenn $X_{(i)}^\prime=X_j$ für ein $j\in\{1,\ldots,n\}$, und $Z_i=1$, wenn $X_{(i)}^\prime=Y_j$ für ein $j\in\{1,\ldots,n\}$.

Beispiel

 

• Im Rahmen einer medizinischen Studie über Schulanfänger wurde die Körpergröße von $n_1=8$ Mädchen und $n_2=10$ Jungen untersucht.
• Dabei ergaben sich die folgenden Messergebnisse:
  $$\begin{array}{c\vert cccccccccc} x_i & 117 & 121 & 122 & 124... ...113 & 114 & 115 & 116 & 118 & 119 & 120 & 123 & 127 \end{array}$$

• Wenn wir diese Messwerte der Größe nach ordnen und dabei den Körpergrößen der Jungen jeweils eine 0 bzw. den Körpergrößen der Mädchen jeweils eine $1$ zuordnen, dann ergibt sich die Folge

  $$\omega=(0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1,1,1,0,1,1) \mbox{mit $T(\omega)=8$.}$$ (29)

  
  

• Andererseits ergibt sich aus Theorem 6.1, dass für das $\alpha$-Quantil $r_\alpha(n_1;n_2)$ der Verteilung von $T$ beispielsweise $r_{0.05}(8;10)=6$ für $\alpha=0.05$ gilt.
• In diesem Fall wird somit $H_0$ nicht abgelehnt, weil $T(\omega)=8>6=r_{0.05}(8;10)$.

Beachte

 

• Der in diesem Abschnitt betrachtete Iterationstest kann einseitige Alternativen vom Typ (27) bzw. (28) nicht erkennen.
• Dies wird durch das in (29) gegebene Beispiel klar: Denn die Anzahl der Iterationen $T(\omega)=8$ ändert sich nicht, wenn wir (umgekehrt zu der bisherigen Vorgehensweise) den Körpergrößen der Jungen jeweils eine $1$ bzw. den Körpergrößen der Mädchen jeweils eine 0 zuordnen.
• Auch bei zweiseitigen Alternativen sollte der Iterationstest von Wald-Wolfowitz, der ein so genannter ,,Omnibustest'' ist, nur dann verwendet werden, wenn die Form der Alternative nicht näher spezifiziert wird.
• Beim Vorliegen spezieller Alternativen, die beispielsweise nur Lage- oder Variabilitätskenngrößen betreffen, sind andere Testverfahren effizienter, vgl. Abschnitt 6.3.2.