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Summe, Produkt und Quotient von unabhängigen Zufallsvariablen

Theorem 3.22
$ \;$ Sei $ X=(X_1,X_2):\Omega\rightarrow\mathbb{R}^2$ ein absolutstetiger Zufallsvektor mit der (gemeinsamen) Dichte $ f_X$. Dann ist auch die Zufallsvariable $ X_1+X_2$ absolutstetig, und ihre Dichte ist gegeben durch

$\displaystyle f_{X_1+X_2}(z)=\int\limits ^{\infty}_{-\infty}f_X(t,z-t)\, dt\qquad\forall z\in\mathbb{R}\,.$ (32)

Falls die Zufallsvariablen $ X_1,X_2$ unabhängig sind, dann gilt insbesondere die sogenannte Faltungsformel

$\displaystyle f_{X_1+X_2}(z)=\int\limits ^{\infty }_{-\infty } f_{X_1}(t)f_{X_2}(z-t)\, dt\qquad\forall z\in\mathbb{R}\,.$ (33)

Beweis
$ \;$ Wir benutzen die Tatsache, daß zwischen Verteilungsfunktion und Dichte einer Zufallsvariablen eine eineindeutige Zuordnung besteht, und zeigen, daß das Integral der Funktion in (32) die Verteilungsfunktion von $ X_1+X_2$ ergibt. Und zwar gilt für jedes $ z\in\mathbb{R}$
$\displaystyle \int\limits ^{z}_{-\infty }\int\limits ^{\infty }_{-\infty }
f_X(t,\, v-t)\, dt\, dv$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int\limits ^{\infty }_{-\infty }\int\limits ^{z}_{-\infty }
f_X(t,\, \underbrace{v-t}_{=u})\, dv\, dt$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int\limits ^{\infty }_{-\infty }\int\limits ^{z-t}_{-\infty }
f_X(t,u)\, du\, dt$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \underset {\{(t,\, u):\, t+u\leq z\}}{\int \int }
f_X(t,\, u)\, du\, dt$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle P(X_1+X_2\leq z)\,.$  

Die Faltungsformel (33) ergibt sich unmittelbar (32), weil $ f_{(X_1,X_2)}(x_1,x_2)=f_{X_1}(x_1)\cdot f_{X_2}(x_2)$, falls $ X_1$ und $ X_2$ unabhängig sind.


Beachte
 


Völlig analog zu Theorem 3.22 ergibt sich

Theorem 3.23
$ \;$ Die Zufallsvariablen $ X_1$ und $ X_2$ seien unabhängig und absolutstetig mit den Dichten $ f_{X_1}$ und $ f_{X_2}$. Dann sind die Zufallsvariablen $ X_1\cdot X_2$ und $ X_1/X_2$ absolutstetig, und ihre Dichten sind gegeben durch

$\displaystyle f_{X_1\cdot X_2}(z) =\int\limits ^{\infty }_{-\infty }\frac{1}{\vert t\vert} f_{X_1}(t)f_{X_2}(\frac{z}{t})\, dt \qquad\forall z\in\mathbb{R}$ (34)

bzw.

$\displaystyle f_{X_1/X_2}(z)=\int\limits ^{\infty }_{-\infty }\vert t\vert f_{X_1}(z\cdot t)f_{X_2}(t)\, dt\qquad\forall z\in\mathbb{R}\,.$ (35)


Beachte
 
Beispiel
$ \;$ Falls $ X_1$ und $ X_2$ unabhängig sind mit $ X_1\sim$ N(0,1) und $ X_{2}\sim$ N(0,1), dann gilt

$\displaystyle f_{X_1/X_2}(z)=\frac{1}{\pi (z^{2}+1)}\qquad\forall z\in\mathbb{R}\,.$ (36)

denn aus (35) ergibt sich, daß
$\displaystyle f_{X_1/X_2}(z)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int\limits ^{\infty }_{-\infty }\vert t\vert
f_{X_1}(z\cdot t)f_{X_2}(t)\, dt$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int\limits ^{\infty }_{-\infty }\vert t\vert\frac{1}{2\pi }
\exp \Bigl(-\frac{1}{2}((z\,t)^{2}+t^{2})\Bigr)\, dt$  
  $\displaystyle \overset {\textrm{Symmetrie}}{=}$ $\displaystyle \frac{1}{\pi }
\int\limits ^{\infty }_{0}t
\exp \Bigl(-\underbrace{\frac{t^{2}}{2}(z^{2}+1)}_{=v}\Bigr)\, dt$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\pi (z^{2}+1)}
\underbrace{\int ^{\infty }_{0}e^{-v}\, dv}_{=1}
=\frac{1}{\pi (z^{2}+1)}\;.$  

Beachte
$ \;$ Eine absolutstetige Zufallsvariable mit der in (36) gegebenen Dichte heißt Cauchy-verteilt.


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Roland Maier 2001-08-20