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Summe, Produkt und Quotient von unabhängigen
Zufallsvariablen
- Theorem 3.22
- Sei
ein absolutstetiger Zufallsvektor mit der (gemeinsamen) Dichte
. Dann ist auch die Zufallsvariable
absolutstetig, und ihre Dichte ist gegeben durch
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(32) |
Falls die Zufallsvariablen unabhängig sind, dann gilt
insbesondere die sogenannte Faltungsformel
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(33) |
- Beweis
- Wir benutzen die Tatsache, daß zwischen
Verteilungsfunktion und Dichte einer Zufallsvariablen eine
eineindeutige Zuordnung besteht, und zeigen, daß das Integral
der Funktion in (32)
die Verteilungsfunktion von ergibt. Und zwar gilt
für jedes
Die Faltungsformel (33) ergibt sich unmittelbar (32), weil
, falls
und unabhängig sind.
- Beachte
-
Völlig analog zu Theorem 3.22 ergibt sich
- Theorem 3.23
- Die Zufallsvariablen und seien
unabhängig und absolutstetig mit den Dichten
und . Dann sind die Zufallsvariablen
und absolutstetig, und ihre
Dichten sind gegeben durch
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(34) |
bzw.
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(35) |
- Beachte
-
- Der Fall
, der bei der Bildung des
Quotienten zur Division durch Null führen würde, tritt
nur mit Wahrscheinlichkeit Null auf (weil absolutstetig ist).
- Deshalb kann
für solche
gesondert definiert werden (z.B. können wir dann
setzen).
- Beispiel
-
Falls und unabhängig sind mit N(0,1) und
N(0,1), dann gilt
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(36) |
denn aus (35) ergibt sich, daß
- Beachte
- Eine absolutstetige Zufallsvariable
mit der in (36) gegebenen Dichte heißt Cauchy-verteilt.
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Roland Maier
2001-08-20