Summe, Produkt und Quotient von unabhängigen Zufallsvariablen

Theorem 3.22

$\;$ Sei $X=(X_1,X_2):\Omega\rightarrow\mathbb{R}^2$ ein absolutstetiger Zufallsvektor mit der (gemeinsamen) Dichte $f_X$. Dann ist auch die Zufallsvariable $X_1+X_2$ absolutstetig, und ihre Dichte ist gegeben durch

$$f_{X_1+X_2}(z)=\int\limits ^{\infty}_{-\infty}f_X(t,z-t)\, dt\qquad\forall z\in\mathbb{R}\,.$$ (32)

Falls die Zufallsvariablen $X_1,X_2$ unabhängig sind, dann gilt insbesondere die sogenannte Faltungsformel

$$f_{X_1+X_2}(z)=\int\limits ^{\infty }_{-\infty } f_{X_1}(t)f_{X_2}(z-t)\, dt\qquad\forall z\in\mathbb{R}\,.$$ (33)

Beweis

$\;$ Wir benutzen die Tatsache, daß zwischen Verteilungsfunktion und Dichte einer Zufallsvariablen eine eineindeutige Zuordnung besteht, und zeigen, daß das Integral der Funktion in (32) die Verteilungsfunktion von $X_1+X_2$ ergibt. Und zwar gilt für jedes $z\in\mathbb{R}$

$$\int\limits ^{z}_{-\infty }\int\limits ^{\infty }_{-\infty } f_X(t,\, v-t)\, dt\, dv = \int\limits ^{\infty }_{-\infty }\int\limits ^{z}_{-\infty } f_X(t,\, \underbrace{v-t}_{=u})\, dv\, dt$$

$$= \int\limits ^{\infty }_{-\infty }\int\limits ^{z-t}_{-\infty } f_X(t,u)\, du\, dt$$

$$= \underset {\{(t,\, u):\, t+u\leq z\}}{\int \int } f_X(t,\, u)\, du\, dt$$

$$= P(X_1+X_2\leq z)\,.$$

Die Faltungsformel (33) ergibt sich unmittelbar (32), weil $f_{(X_1,X_2)}(x_1,x_2)=f_{X_1}(x_1)\cdot f_{X_2}(x_2)$, falls $X_1$ und $X_2$ unabhängig sind.

Beachte

 

• Falls die Zufallsvariablen $X_1,X_2$ unabhängig sind mit $X_1\sim$ N $(\mu_1,\sigma_1^2)$ bzw. $X_2\sim$ N $(\mu_2,\sigma_2^2)$, dann ergibt sich aus (33), daß auch die Summe $X_1+X_2$ normalverteilt ist mit
     $$\mbox{$X_1+X_2\sim$ N$(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)\,.$}$$$$$$

• Dieses Additionstheorem für unabhängige und normalverteilte Zufallsvariablen wird auch Faltungsstabilität der Normalverteilung genannt.
• Durch Iteration ergibt sich für jede beliebige Anzahl $n\ge 2$ von unabhängigen Zufallsvariablen $X_1,\ldots,X_n$ mit $X_i\sim$ N $(\mu_i,\sigma_i^2)$ für alle $i\in\{1,\ldots,n\}$, daß
     $$\mbox{$X_1+\ldots+X_n\sim$ N$(\mu_1+\ldots+\mu_n,\sigma_1^2+\ldots+ \sigma_n^2)\,.$}$$$$$$

Völlig analog zu Theorem 3.22 ergibt sich

Theorem 3.23

$\;$ Die Zufallsvariablen $X_1$ und $X_2$ seien unabhängig und absolutstetig mit den Dichten $f_{X_1}$ und $f_{X_2}$. Dann sind die Zufallsvariablen $X_1\cdot X_2$ und $X_1/X_2$ absolutstetig, und ihre Dichten sind gegeben durch

$$f_{X_1\cdot X_2}(z) =\int\limits ^{\infty }_{-\infty }\frac{1}{\vert t\vert} f_{X_1}(t)f_{X_2}(\frac{z}{t})\, dt \qquad\forall z\in\mathbb{R}$$ (34)

bzw.

$$f_{X_1/X_2}(z)=\int\limits ^{\infty }_{-\infty }\vert t\vert f_{X_1}(z\cdot t)f_{X_2}(t)\, dt\qquad\forall z\in\mathbb{R}\,.$$ (35)

Beachte

 

• Der Fall $X_2(\omega)=0$, der bei der Bildung des Quotienten $X_1/X_2$ zur Division durch Null führen würde, tritt nur mit Wahrscheinlichkeit Null auf (weil $X_2$ absolutstetig ist).
• Deshalb kann $X_1(\omega)/X_2(\omega)$ für solche $\omega \in \Omega$ gesondert definiert werden (z.B. können wir dann $X_1(\omega)/X_2(\omega)=0$ setzen).

Beispiel

$\;$ Falls $X_1$ und $X_2$ unabhängig sind mit $X_1\sim$ N(0,1) und $X_{2}\sim$ N(0,1), dann gilt

$$f_{X_1/X_2}(z)=\frac{1}{\pi (z^{2}+1)}\qquad\forall z\in\mathbb{R}\,.$$ (36)

denn aus (35) ergibt sich, daß

$$f_{X_1/X_2}(z) = \int\limits ^{\infty }_{-\infty }\vert t\vert f_{X_1}(z\cdot t)f_{X_2}(t)\, dt$$

$$= \int\limits ^{\infty }_{-\infty }\vert t\vert\frac{1}{2\pi } \exp \Bigl(-\frac{1}{2}((z\,t)^{2}+t^{2})\Bigr)\, dt$$

$$\overset {\textrm{Symmetrie}}{=} \frac{1}{\pi } \int\limits ^{\infty }_{0}t \exp \Bigl(-\underbrace{\frac{t^{2}}{2}(z^{2}+1)}_{=v}\Bigr)\, dt$$

$$= \frac{1}{\pi (z^{2}+1)} \underbrace{\int ^{\infty }_{0}e^{-v}\, dv}_{=1} =\frac{1}{\pi (z^{2}+1)}\;.$$

Beachte

$\;$ Eine absolutstetige Zufallsvariable mit der in (36) gegebenen Dichte heißt Cauchy-verteilt.