Quantilfunktion

Bei der Konstruktion von Konfidenzintervallen benötigen wir den Begriff der Quantilfunktion, den wir bereits in Abschnitt WR-4.1.4 betrachtet hatten.

Definition

 

• Sei $F:\mathbb{R}\to[0,1]$ eine beliebige Verteilungsfunktion.
• Die Funktion $F^{-1}:[0,1]\to\mathbb{R}$ mit

  $$F^{-1}(y)=\inf\{x:\, F(x)\ge y\}$$ (5)

  
  
  heißt Quantilfunktion der Verteilungsfunktion $F$ (bzw. der zugehörigen Verteilung).
• Sei $\alpha\in(0,1)$. Die Zahl $F^{-1}(\alpha)$ wird dann $\alpha$-Quantil von $F$ genannt.

Beachte

 

• Wenn $F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ eine beliebige monoton wachsende rechtsstetige Funktion ist (die nicht unbedingt eine Verteilungsfunktion sein muß), dann heißt die in (5) definierte Funktion $F^{-1}$ verallgemeinerte inverse Funktion von $F$.
• Quantilfunktionen sind also spezielle verallgemeinerte inverse Funktionen.

Beispiele

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Um Konfidenzintervalle für die Parameter von normalverteilten Stichprobenvariablen konstruieren zu können, werden insbesondere die Quantilfunktionen der Standardnormalverteilung, der $\chi ^2$-Verteilung und der t-Verteilung benötigt, die bereits in den Abschnitten 1.2.2, 1.3.1 bzw 1.3.4 eingeführt worden sind und an die wir hier zunächst erinnern wollen.

1. Quantile der N$(0,1)$-Verteilung 
   • Das $\alpha$-Quantil der Verteilungsfunktion $\Phi$ (d.h. der Standardnormalverteilung N$(0,1)$) wird mit $z_\alpha$ bezeichnet.
   • Mit anderen Worten: Für jedes $\alpha\in(0,1)$ ist $z_\alpha$ die Lösung der Quantilgleichung $\Phi(z_\alpha)=\alpha$.
   • Für $\alpha\ge 0,50$ kann man das $\alpha$-Quantil $z_\alpha$ aus Tabelle 1 entnehmen; vgl. Abschnitt 5.
   • Aus der Symmetrieeigenschaft $\Phi(-x)=1-\Phi(x)$ für jedes $x\in\mathbb{R}$ ergibt sich außerdem, daß für jedes $\alpha\in(0,1)$

     $$z_\alpha=-z_{1-\alpha}\,.$$ (6)

     
     

2. Quantile der $\chi ^2$-Verteilung mit $r$ Freiheitsgraden 
   • Die Zufallsvariable $U_r$ sei $\chi ^2$-verteilt mit $r$-Freiheitsgraden, d.h., $U_r\sim\chi^2_r$.
   • Für $\alpha\in(0,1)$ sei $\chi^2_{r,\alpha}$ die (eindeutig bestimmte) Lösung der Gleichung $F_{U_r}(\chi^2_{r,\alpha})=\alpha$, wobei die Dichte $f_{U_r}$ von $U_r$ in Theorem 1.6 gegeben ist.
   • Dann heißt $\chi^2_{r,\alpha}$ das $\alpha$-Quantil der $\chi ^2$-Verteilung mit $r$ Freiheitsgraden.
   • Quantile der $\chi ^2$-Verteilung mit $r$ Freiheitsgraden sind in Tabelle 2 gegeben, vgl. Abschnitt 5.
3. Quantile der t-Verteilung mit $r$ Freiheitsgraden 
   • Die Zufallsvariable $V_r$ sei t-verteilt mit $r$-Freiheitsgraden, d.h., $V_r\sim$ t$_r$, wobei die Dichte $f_{V_r}$ von $V_r$ in Theorem 1.12 gegeben ist.
   • Für $\alpha\in(0,1)$ wird dann die Lösung $t_{r,\alpha}$ der Gleichung $F_{V_r}(t_{r,\alpha})=\alpha$ das $\alpha$- Quantil der t-Verteilung mit $r$ Freiheitsgraden genannt, vgl. Tabelle 3 in Abschnitt 5.
   • Analog zu der Symmetrieeigenschaft $z_\alpha=-z_{1-\alpha}$ der Quantile $z_\alpha$ der N$(0,1)$-Verteilung gilt auch

     $$t_{r,\alpha}=-t_{r,1-\alpha}$$ (7)

     
     
     für beliebige $r\in\mathbb{N}$ und $\alpha\in(0,1)$.