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Unabhängigkeit und Transformation von Zufallsvektoren

Definition
  In Verallgemeinerung des Begriffes der Unabhängigkeit von reellwertigen Zufallsvariablen, der in Abschnitt WR-3.3.5 eingeführt wurde, sagen wir, dass die Zufallsvektoren $ X_1:\Omega\to\mathbb{R}^{m_1},\ldots,X_n:\Omega\to\mathbb{R}^{m_n}$ unabhängig sind, falls

$\displaystyle F_{(X_1,\ldots,X_n)}(x_1,\ldots,x_n)=F_{X_1}(x_1)\ldots
 F_{X_n}(x_n)\qquad \forall
 x_1\in\mathbb{R}^{m_1},\ldots,x_n\in\mathbb{R}^{m_n}\,.$ (31)

Analog zu Theorem WR-3.11 ergibt sich dann die folgende Charakterisierung der Unabhängigkeit absolutstetiger Zufallsvektoren.

Theorem 1.7   Seien $ (X_1,\ldots,X_n):\Omega\to\mathbb{R}^{m_1+\ldots+m_n}$ und damit auch $ X_1:\Omega\to\mathbb{R}^{m_1},\ldots,X_n:\Omega\to\mathbb{R}^{m_n}$ absolutstetige Zufallsvektoren. Die Komponenten $ X_1,\ldots,X_n$ des Vektors $ (X_1,\ldots,X_n)$ sind genau dann unabhängig, wenn für fast alle $ (x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^{m_1+\ldots+m_n}$

$\displaystyle f_{(X_1,\ldots,X_n)}(x_1,\ldots,x_n)=f_{X_1}(x_1)\ldots
 f_{X_n}(x_n)\,.$ (32)

Analog zu Theorem WR-3.18 ergibt sich der folgende Satz über die Unabhängigkeit zusammengesetzter Abbildungen.

Theorem 1.8   Die Zufallsvektoren $ X_1:\Omega\to\mathbb{R}^{m_1},\ldots,X_n:\Omega\to\mathbb{R}^{m_n}$ seien unabhängig. Für beliebige Borel-messbare Funktionen $ \varphi_1:\mathbb{R}^{m_1}\to\mathbb{R}^{m_1^\prime},\ldots,\varphi_n:\mathbb{R}^{m_n}\to\mathbb{R}^{m_n^\prime}$ sind die Zufallsvektoren $ \varphi_1(X_1),\ldots,\varphi_n(X_n)$ dann auch unabhängig.

Schließlich gilt der folgende Transformationssatz für die Dichte von absolutstetigen Zufallsvektoren.

Theorem 1.9    


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Ursa Pantle 2004-07-14