Unabhängigkeit und Transformation von
Zufallsvektoren
In Abschnitt 1.3.3 benötigen wir einige Eigenschaften
von Zufallsvektoren, die wir hier lediglich erwähnen (ohne sie im
einzelnen zu beweisen).
In den Abschnitten WR-3 bzw. WR-4 der Vorlesung
,,Wahrscheinlichkeitsrechnung'' im WS 01/02 sind solche
Eigenschaften für den Fall reellwertiger Zufallsvariablen
hergeleitet worden.
Definition
In Verallgemeinerung des Begriffes der Unabhängigkeit von
reellwertigen Zufallsvariablen, der in Abschnitt WR-3.3.5
eingeführt wurde, sagen wir, dass die Zufallsvektoren
unabhängig sind, falls
(31)
Analog zu Theorem WR-3.11 ergibt sich dann die folgende
Charakterisierung der Unabhängigkeit absolutstetiger
Zufallsvektoren.
Theorem 1.7
Seien
und damit
auch
absolutstetige
Zufallsvektoren. Die Komponenten
des Vektors
sind genau dann unabhängig, wenn für fast alle
(32)
Analog zu Theorem WR-3.18 ergibt sich der folgende Satz über die
Unabhängigkeit zusammengesetzter Abbildungen.
Theorem 1.8
Die Zufallsvektoren
seien
unabhängig. Für beliebige Borel-messbare Funktionen
sind die Zufallsvektoren
dann auch unabhängig.
Schließlich gilt der folgende Transformationssatz für die Dichte
von absolutstetigen Zufallsvektoren.