Gammaverteilung und $\chi ^2$-Verteilung

• Sei $\Gamma:(0,\infty)\to(0,\infty)$ die Gammafunktion mit

  $$\Gamma(p)=\int\limits _0^\infty e^{-y} \, y^{p-1}\, dy\,,\qquad p>0\,.$$ (22)

  
  

• Durch partielle Integration ergibt sich, dass für jedes $p>0$
  $$\Gamma(p+1)=\int\limits _0^\infty e^{-y} \, y^{p}\, dy=\Bigl[-e^{-y} \, y^{p}\Bigr]_0^\infty+p\int\limits _0^\infty e^{-y} \, y^{p-1}\, dy\,,$$

• Also gilt für jedes $p>0$

  $$\Gamma(p+1)=p\Gamma(p)\,.$$ (23)

  
  

• Weil
  $$\Gamma(1)=\int\limits _0^\infty e^{-y}\, dy=\Bigl[-e^{-y}\Bigr]_0^\infty=1\,,$$
  ergibt sich aus (23), dass $\Gamma(n+1)=n!$ für jedes $n\in\mathbb{N}$.

Beachte

 

• Mit der Substitution $y^\prime=b^{-1}y$, wobei $b>0$, geht (22) über in
  $$\Gamma(p)=b^p\,\int\limits _0^\infty e^{-by} \, y^{p-1}\, dy$$
  bzw.

  $$1=\int\limits _0^\infty\frac{b^p}{\Gamma(p)}\; e^{-by} \, y^{p-1}\, dy\,,$$ (24)

  
  
  wobei der Integrand als Wahrscheinlichkeitsdichte aufgefasst werden kann.
• Dies führt zu der folgenden Begriffsbildung.

Definition

Man sagt, dass die Zufallsvariable $Y:\Omega\to\mathbb{R}$ gammaverteilt ist mit den Parametern $b>0$ und $p>0$, wenn $Y$ absolutstetig ist und wenn die Dichte $f_Y:\mathbb{R}\to[0,\infty)$ von $Y$ gegeben ist durch

$$f_Y(y)=\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle\frac{b^p}{\Gamma(p... ...ox{falls $y> 0$,}\\ [3\jot] 0\,, & \mbox{falls $y\le 0$.} \end{array}\right.$$ (25)

Schreibweise: $Y\sim \Gamma(b,p)$.

Theorem 1.5   Die Zufallsvariable $Y:\Omega\to\mathbb{R}$ sei gammaverteilt mit den Parametern $b>0$ und $p>0$. Für die momenterzeugende Funktion $\psi_Y:(-\infty,b)\to\mathbb{R}$ mit $\psi_Y(t)={\mathbb{E}\,}e^{tY}$ bzw. für die charakteristische Funktion $\varphi_Y:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ mit $\varphi_Y(t)={\mathbb{E}\,}\, e^{{\rm i}\,tY}$ gilt dann

$$\psi_Y(t)=\frac{1}{\Bigl(1-\displaystyle\frac{ t}{b}\Bigr)^p}\;,\quad\forall\, t\in(-\infty,b) \qquad \varphi_Y(t)=\frac{1}{\Bigl(1-\displaystyle\frac{{\rm i}\, t}{b}\Bigr)^p}\;,\quad\forall\, t\in\mathbb{R}\,.$$ (26)

Außerdem gilt für jedes $k\in\mathbb{N}$

$${\mathbb{E}\,}(Y^k)=\frac{p(p+1)\ldots(p+k-1)}{b^k}\;.$$ (27)

Beweis

 

• Aus der Definition der momenterzeugenden Funktion und aus (25) ergibt sich, dass
  $$\psi_Y(t) ={\mathbb{E}\,}\, e^{tY}=\int\limits _0^\infty\; e^{ty}... ... \int\limits _0^\infty\frac{b^p}{\Gamma(p)}\; e^{-(b-t)y} \, y^{p-1}\, dy\,.$$

• Ähnlich wie bei der Herleitung von (24) betrachten wir nun die Substitution $y=(b-t) y^\prime$, wobei $b>0$ und $t<b$, und erhalten die Gleichung
  $$1=\int\limits _0^\infty\frac{(b-t)^p}{\Gamma(p)}\; e^{-(b-t)y} \, y^{p-1}\, dy\,.$$

• Hieraus folgt, dass für jedes $t<b$
  $$\psi_Y(t)=\frac{b^p}{(b-t)^p}=\frac{1}{\Bigl(1-\displaystyle\frac{t}{b}\Bigr)^p}\;,$$
  d.h., die in dem Gebiet $\{z=t_1+{\rm i}\,t_2:\,t_1<b\}$ holomorphen Funktionen $\varphi_1(z)={\mathbb{E}\,}e^{zY}$ und $\varphi_2(z)=(1-z/b)^{-p}$ besitzen für jedes $z\in(-\infty,b)$ jeweils die gleichen Funktionswerte.
• Aus dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen (vgl. Abschnitt 8.1 in R. Remmert (1992) Funktionentheorie 1, Springer, Berlin) ergibt sich nun, dass $\varphi_1({\rm i}\,t)=\varphi_2({\rm i}\, t)$ für jedes $t\in\mathbb{R}$ gilt.
• Damit ist (26) bewiesen.
• Aus (26) ergibt sich nun, dass $\varphi_Y(t)$ unendlich oft differenzierbar ist und dass die $k$-te Ableitung $\varphi_Y^{(k)}(t)$ von $\varphi_Y(t)$ gegeben ist durch
  $$\varphi_Y^{(k)}(t)=\frac{p(p+1)\ldots(p+k-1)}{b^k}\;{\rm i}\,^k ... ...splaystyle\frac{{\rm i}\, t}{b}\Bigr)^{p+k}}\;,\qquad\forall t\in\mathbb{R}.$$

• Weil außerdem ${\mathbb{E}\,}(\vert Y\vert^k)<\infty$ für jedes $k\in\mathbb{N}$, gilt (vgl. Theorem WR-5.21)
  $${\mathbb{E}\,}(Y^k)=\frac{\varphi_Y^{(k)}(0)}{{\rm i}\,^k}\;,\qquad\forall\, k\in\mathbb{N}\,.$$

• Hieraus folgt die Gültigkeit von (27).
  
  $\Box$

Aus Theorem 1.5 ergibt sich insbesondere, dass die Familie der Gammaverteilungen die folgende Eigenschaft der Faltungsstabilität besitzt.

Korollar 1.2   Seien $Y_1,Y_2:\Omega\to\mathbb{R}$ unabhängige Zufallsvariablen mit $Y_1\sim \Gamma(b,p_1)$ und $Y_2\sim \Gamma(b,p_2)$, wobei $b,p_1,p_2>0$. Dann gilt $Y_1+Y_2\sim \Gamma(b,p_1+p_2)$.

Beweis

 

• Für die charakteristische Funktion $\varphi_{Y_1+Y_2}(t)={\mathbb{E}\,}\, e^{{\rm i}\,t(Y_1+Y_2)}$ der Summe $Y_1+Y_2$ gilt wegen der Unabhängigkeit von $Y_1$ und $Y_2$ (vgl. Theorem WR-5.18), dass
  $$\varphi_{Y_1+Y_2}(t)=\varphi_{Y_1}(t)\varphi_{Y_2}(t)\,,\qquad \forall t\in\mathbb{R}\,.$$

• Aus (26) ergibt sich also, dass
  

  $$\varphi_{Y_1+Y_2}(t) = \frac{1}{\Bigl(1-\displaystyle\frac{{\rm i}\, t}{b}\Bigr)^{p_1}}\;\frac{1}{\Bigl(1-\displaystyle\frac{{\rm i}\, t}{b}\Bigr)^{p_2}}$$

  $$= \frac{1}{\Bigl(1-\displaystyle\frac{{\rm i}\, t}{b}\Bigr)^{p_1+p_2}}\;.$$

  
  

• Die charakteristische Funktion $\varphi_{Y_1+Y_2}(t)$ der Summe $Y_1+Y_2$ besitzt somit die in (26) hergeleitete Form der charakteristischen Funktion der Gammaverteilung $\Gamma(b,p_1+p_2)$.
• Aus dem Eindeutigkeitssatz für charakteristische Funktionen (vgl. Korollar WR-5.5) folgt nun, dass $Y_1+Y_2\sim \Gamma(b,p_1+p_2)$.
  
  $\Box$

Beachte

 

• Aus der Definitionsgleichung (25) der Dichte der Gammaverteilung ergibt sich, dass die Exponentialverteilung Exp$(b)$ eine spezielle Gammaverteilung ist, wobei
  $${\rm Exp}(b)=\Gamma(b,1)\,.$$

• Wegen Korollar 1.2 ist die Summe $Y_1+\ldots+Y_n$ von $n$ unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen $Y_1,\ldots,Y_n$ mit $Y_i\sim$ Exp$(b)$ für jedes $i\in\{1,\ldots,n\}$ ebenfalls gammaverteilt, und zwar gilt
  $$Y_1+\ldots+Y_n\sim\Gamma(b,n)\,.$$
  Ein solche Gammaverteilung heißt Erlangverteilung der Ordnung $n$.
• Außer den Klassen der Exponential- bzw. Erlangverteilungen werden noch weitere Teilklassen von Gammaverteilungen betrachtet.
• Eine solche Teilklasse von Gammaverteilungen spielt bei der Bestimmung der Verteilung der Stichprobenvarianz $S^2_n$ von normalverteilten Stichprobenvariablen eine wichtige Rolle.
• Es ist dies die Familie der $\chi ^2$-Verteilungen, die zu den sogenannten statistischen Prüfverteilungen gehören und die wie folgt definiert sind.

Definition

 

• Sei $r\in\mathbb{N}$ eine beliebige natürliche Zahl, und seien $X_1,\ldots,X_r:\Omega\to\mathbb{R}$ unabhängige und N$(0,1)$-verteilte Zufallsvariablen.
• Dann sagt man, dass die Zufallsvariable $U_r=\sum_{i=1}^r X_i^2$ eine $\chi ^2$-Verteilung mit $r$ Freiheitsgraden hat. (Schreibweise: $U_r\sim\chi^2_r$)

Theorem 1.6   Sei $r\ge 1$ eine beliebige natürliche Zahl, und sei $U_r$ eine $\chi ^2$-verteilte Zufallsvariable mit $r$ Freiheitsgraden. Dann ist die Dichte von $U_r$ gegeben durch

$$f_{U_r}(x)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle \frac{x^{(r-2)/2... ...ma(r/2)}\,, & \mbox{falls $x>0$,}\\ 0\,, & \mbox{sonst,} \end{array}\right.$$ (28)

wobei $\Gamma(1)=1$, $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$ und $\Gamma(p+1)=p\,\Gamma(p)$.

Beweis

 

• Wir betrachten zunächst den Fall $r=1$, d.h., es gelte $U_1=X^2$ mit $X\sim\,$N$(0,1)$.
• Für die Dichte $f_{U_1}(x)$ von $U_1$ ergibt sich dann aus Theorem WR-3.15, dass
  $$f_{U_1}(x)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle \frac{1}{2\sqrt... ...x{falls $x>0$,}\\ [3\jot] 0\,, & \mbox{falls $x\le 0$.} \end{array}\right.$$

• Weil
  $$f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\Bigl(-\frac{x^2}{2}\Bigr)\,,$$
  ergibt sich somit, dass

  $$f_{U_1}(x)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle \frac{1}{\sqrt{... ...box{falls $x>0$,}\\ [3\jot] 0\,, & \mbox{falls $x\le 0$.} \end{array}\right.$$ (29)

  
  

• Damit ist (28) für den Fall $r=1$ bewiesen.
• Ein Vergleich von Formel (29) mit der Definitionsgleichung (25) der Gammaverteilung zeigt außerdem, dass

  $$U_1=X^2\sim\,\Gamma(1/2,1/2)\,.$$ (30)

  
  

• Seien nun $X_1,\ldots,X_r:\Omega\to\mathbb{R}$ unabhängige und N$(0,1)$-verteilte Zufallsvariablen.
• Aus (30) und aus Korollar 1.2 folgt dann, dass
  $$X_1^2+\ldots+X_r^2\sim\,\Gamma(1/2,r/2)\,.$$

• Hieraus und aus der Definitionsgleichung (25) der Gammaverteilung ergibt sich nun die Gültigkeit von (28) für jedes $r\in\mathbb{N}$.
  
  $\Box$

Beachte

 

• Für $U_r\sim\chi^2_r$ und $\alpha\in(0,1)$ sei $\chi^2_{r,\alpha}$ die (eindeutig bestimmte) Lösung der Gleichung $F_{U_r}(\chi^2_{r,\alpha})=\alpha$.
• Dann heißt $\chi^2_{r,\alpha}$ das $\alpha$-Quantil der $\chi ^2$-Verteilung mit $r$ Freiheitsgraden.
• Quantile der $\chi ^2$-Verteilung mit $r$ Freiheitsgraden sind in Tabelle 2 gegeben, vgl. Abschnitt 6.
• Ein JAVA-Applet zur Visualisierung von $\chi ^2$-Verteilungen findet man beispielsweise auf der Internet-Seite:

  http://stat.tamu.edu/~jhardin/applets/index.html