Diskrete Stichprobenvariablen

Wir untersuchen nun die Verteilung von Ordnungsstatistiken, wobei wir zunächst den Fall betrachten, dass die Verteilung der Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$ diskret ist.

Theorem 1.14    

• Die Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$ seien diskret, d.h., es gebe eine (abzählbare) Menge
  $$C=\{x_{-m},\ldots,x_{-1},x_0,x_1,x_2,\ldots,x_{m^\prime}\}\subset\mathbb{R}$$
  mit $x_{-m}<\ldots<x_{-1}<x_0<x_1<x_2<\ldots < x_{m^\prime}$ und
  $$P(X_i\in C)=1\qquad\forall\;i\in\{1,\ldots,n\}\,,$$
  wobei wir $x_{-m}=-\infty$ bzw. $x_{m^\prime}=\infty$ setzen, falls $m=\infty$ bzw. $m^\prime=\infty$ und $\lim_{n\to-\infty} x_n=-\infty$ bzw. $\lim_{n\to\infty} x_n=\infty$.
• Dann gilt für beliebige $i\in\{1,\ldots,n\}$ und $j\in\{-m,\ldots,m^\prime\}$

  $$P(X_{(i)}\le x_j)=\sum\limits_{k=i}^n {n\choose k} P_j^k(1-P_j)^{n-k}$$ (51)

  
  
  bzw.

  $$P(X_{(i)}= x_j)=\sum\limits_{k=i}^n {n\choose k}\Bigl( P_j^k(1-P_j)^{n-k}-P_{j-1}^k(1-P_{j-1})^{n-k}\Bigr)\,,$$ (52)

  
  
  wobei
  $$P_j=\sum\limits_{k=-m}^j p_k$$   und$$\qquad p_k=P(X_i=x_k)\,.$$

Beweis

 

• Für beliebige $i\in\{1,\ldots,n\}$ und $j\in\{-m,\ldots,m^\prime\}$ deuten wir das Ereignis $\{X_i\le x_j\}$ als ,,Erfolg'' und das Ereignis $\{X_i> x_j\}$ als ,,Misserfolg''.
• Weil die Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$ unabhängig und identisch verteilt sind, ergibt sich somit, dass die Zufallsvariable $Y=\char93 \{i: X_i\le x_j\}$ binomialverteilt ist mit $Y\sim$ Bin$(n,P_j)$.
• Weil außerdem
  $$\{X_{(i)}\le x_j\}=\{Y\ge i\}\,,$$
  ergibt sich hieraus, dass
  

  $$P(X_{(i)}\le x_j) = P(Y\ge i)$$

  $$= \sum\limits_{k=i}^n {n\choose k} P_j^k(1-P_j)^{n-k}\,.$$

  
  

• Damit ist (51) bewiesen.
• Außerdem gilt
  

  $$P(X_{(i)}= x_j) = P(X_{(i)}\le x_j)-P(X_{(i)}\le x_{j-1})$$

  $$= \sum\limits_{k=i}^n {n\choose k}\Bigl( P_j^k(1-P_j)^{n-k}-P_{j-1}^k(1-P_{j-1})^{n-k}\Bigr)\,.$$

  
  
  
   
    $\Box$