Ordnungsstatistiken

• Außer dem Stichprobenmittel $\overline X_n$ und der Stichprobenvarianz $S_n^2$, deren Eigenschaften in den Abschnitten 1.2 bzw. 1.3 diskutiert wurden, gibt es noch weitere Stichprobenfunktionen, die bei der statistischen Datenanalyse von Interesse sind.
• Eine solche Klasse von Stichprobenfunktionen sind die sogenannten Ordnungsstatistiken, die mit Hilfe der folgenden Borel-messbaren Abbildung $\varphi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ definiert werden:

  $$(x_1,\ldots,x_n)\to(x_{(1)},\ldots,x_{(n)})=\varphi(x_1,\ldots,x_n)\,,$$ (46)

  
  
  wobei für jedes $i\in\{1,\ldots,n\}$

  $$x_{(i)}=\min\bigl\{x_j:\char93 \{k:x_k\le x_j\}\ge i\bigr\}\,.$$ (47)

  
  

Beachte

$\;$ Die in (46) und (47) gegebene Abbildung $\varphi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ ist eine Borel-messbare Permutation der Komponenten des Vektors $(x_1,\ldots,x_n)$, so dass

$$x_{(1)}\le x_{(2)}\le\ldots\le x_{(n)}\,.$$

Definition

 

• Sei $(X_1,\ldots,X_n)$ eine beliebige Zufallsstichprobe, und
• für jedes $\omega\in\Omega$ sei
  $$(X_{(1)}(\omega),\ldots,X_{(n)}(\omega)) =\varphi\bigl(X_1(\omega),\ldots,X_n(\omega)\bigr)$$
  die in (46) und (47) gegebene (messbare) Permutation von $(X_{1}(\omega),\ldots,X_{n}(\omega))$, so dass

  $$X_{(1)}(\omega)\le\ldots\le X_{(n)}(\omega)\,.$$ (48)

  
  

• Die auf diese Weise definierten Zufallsvariablen $X_{(1)},\ldots,X_{(n)}:\Omega\to\mathbb{R}$ heißen die Ordnungsstatistiken von $(X_1,\ldots,X_n)$.

Beachte

 

• Insbesondere gilt

  $$X_{(1)}=\min\limits_{1\le i\le n} X_i \qquad X_{(n)}=\max\limits_{1\le i\le n} X_i\,,$$ (49)

  
  
  d.h., $X_{(1)}$ bzw. $X_{(n)}$ sind das Minimum bzw. das Maximum der Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$.
• In diesem Zusammenhang wird auch die Stichprobenspannweite $R_n=X_{(n)}-X_{(1)}$ betrachtet.
• Anstelle des Stichprobenmittels $\overline X_n$ wird manchmal der Stichprobenmedian $M_n$ betrachtet, wobei

  $$M_n=\left\{\begin{array}{ll} X_{((n+1)/2)}\,,&\mbox{falls $n$ un... ...(n/2)}+X_{((n/2)+1)}\bigr)/2\,,&\mbox{falls $n$\ gerade,} \end{array} \right.$$ (50)

  
  

• Der Stichprobenmedian ist also ebenfalls ein Mittelwert: Jeweils etwa die Hälfte der Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$ ist kleiner bzw. größer als der Stichprobenmedian.
• Ein Vorteil des Stichprobenmedians $M_n$ besteht darin, dass $M_n$ wesentlich weniger als $\overline X_n$ von den extremalen Variablen $X_{(1)}$ und $X_{(n)}$ abhängt.