Absolutstetige Stichprobenvariablen

• Über die Verteilungsfunktion $F:\mathbb{R}\to[0,1]$ der Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$ setzen wir nun voraus, dass
  $$F(x)=\int\limits_{-\infty}^xf(y)\,dy\,,$$
  wobei $f(y)\ge 0$ für jedes $y\in\mathbb{R}$ und $\int_\mathbb{R}\,f(y)\,dy=1$.
• Zusätzlich setzen wir noch voraus, dass die Dichte $f:\mathbb{R}\to[0,\infty)$ stückweise stetig ist, d.h., die Dichte $f$ habe höchstens abzählbar viele Unstetigkeitsstellen, die sich nirgendwo im Endlichen häufen mögen.
• Die Verteilungsfunktion $F$ ist dann stückweise stetig differenzierbar.

Theorem 1.15    

• Die Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$ seien absolutstetig mit der stückweise stetigen Dichte $f:\mathbb{R}\to[0,\infty)$.
• Dann ist auch die Ordnungsstatistik $X_{(i)}$ für jedes $i\in\{1,\ldots,n\}$ eine absolutstetige Zufallsvariable, deren Dichte $f_{X_{(i)}}:\mathbb{R}\to[0,\infty)$ gegeben ist durch

  $$f_{X_{(i)}}(x)=\frac{n!}{(i-1)!\,(n-i)!}\; f(x)\bigl(F(x)\bigr)^{i-1}\bigl(1-F(x)\bigr)^{n-i}\,.$$ (53)

  
  

Beweis

 

• Ähnlich wie beim Beweis von (51) in Theorem 1.14 setzen wir $Y=\char93 \{i: X_i\le x\}$.
• Weil die Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$ unabhängig und identisch verteilt sind, ergibt sich nun, dass $Y$ binomialverteilt ist mit $Y\sim$ Bin$(n,F(x))$.
• Wegen $\{X_{(i)}\le x\}=\{Y\ge i\}$ erhalten wir also, dass für jedes $x\in\mathbb{R}$

  $$P(X_{(i)}\le x)=\sum\limits_{k=i}^n {n\choose k} \bigl(F(x)\bigr)^k\bigl(1-F(x)\bigr)^{n-k}\,.$$ (54)

  
  

• Weil $F$ stückweise stetig differenzierbar ist, gilt dies somit auch für die Verteilungsfunktion $F_{X_{(i)}}:\mathbb{R}\to[0,1]$ von $X_{(i)}$ mit $F_{X_{(i)}}(x)=P(X_{(i)}\le x)$ für jedes $x\in\mathbb{R}$.
• Insbesondere ist also $X_{(i)}$ absolutstetig.
• Beiderseitiges Differenzieren von (54) ergibt nun, dass
  

  $$f_{X_{(i)}}(x) = \frac{d}{dx}\,F_{X_{(i)}}(x)$$

  $$= \frac{d}{dx}\,P(X_{(i)}\le x)$$

  $$= \sum\limits_{k=i}^n {n\choose k}\Bigl(k \bigl(F(x)\bigr)^{k-1}\bi... ...bigr)^{n-k}f(x) -(n-k)\bigl(F(x)\bigr)^k\bigl(1-F(x)\bigr)^{n-k-1}f(x)\Bigr)\,.$$

  
  

• Weil $n-k=0$ für $k=n$, ergibt sich hieraus, dass
  

  $$f_{X_{(i)}}(x) = {n\choose i}i f(x)\bigl(F(x)\bigr)^{i-1}\bigl(1-F(x)\bigr)^{n-i} ... ...mits_{k=i+1}^n {n\choose k}k \bigl(F(x)\bigr)^{k-1}\bigl(1-F(x)\bigr)^{n-k}f(x)$$

  $$-\sum\limits_{k=i}^{n-1} {n\choose k}(n-k)\bigl(F(x)\bigr)^k\bigl(1-F(x)\bigr)^{n-k-1}f(x)\,.$$

  
  

• Durch die Substitution $k^\prime=k-1$ in der ersten Summe erhalten wir, dass
  

  $$f_{X_{(i)}}(x) = \frac{n!}{(i-1)!\,(n-i)!}\, f(x)\bigl(F(x)\bigr)^{i-1}\bigl(1-F(x)\bigr)^{n-i}$$

  $$+ \sum\limits_{k=i}^{n-1} {n\choose k+1}(k+1) \bigl(F(x)\bigr)^{k}\bigl(1-F(x)\bigr)^{n-k-1}f(x)$$

  $$-\sum\limits_{k=i}^{n-1} {n\choose k}(n-k)\bigl(F(x)\bigr)^k\bigl(1-F(x)\bigr)^{n-k-1}f(x)$$

  $$= \frac{n!}{(i-1)!\,(n-i)!}\, f(x)\bigl(F(x)\bigr)^{i-1}\bigl(1-F(x)\bigr)^{n-i}\,,$$

  
  
  wobei sich die letzte Gleichheit aus der Identität
  $${n\choose k+1}(k+1)=\frac{n!}{k!\,(n-k-1)!}={n\choose k}(n-k)$$
  ergibt.
  
  $\Box$

In Verallgemeinerung von Theorem 1.15 kann man die folgende Formel für die gemeinsame Dichte von zwei Ordnungsstatistiken herleiten.

Theorem 1.16    

• Die Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$ seien absolutstetig mit der stückweise stetigen Dichte $f:\mathbb{R}\to[0,\infty)$.
• Für $1\le i< j\le n$ ist die gemeinsame Dichte $f_{X_{(i)},X_{(j)}}:\mathbb{R}^2\to[0,\infty)$ der Ordnungsstatistiken $X_{(i)},X_{(j)}$ gegeben durch

  $$f_{X_{(i)},X_{(j)}}(x_i,x_j)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyl... ...nfty$,} & \\ [3\jot] 0\,, \hspace{6.6cm} \mbox{sonst.} & \end{array}\right.$$ (55)

  
  

Beweis

 

• Der Beweis von Theorem 1.16 verläuft ähnlich wie der Beweis von Theorem 1.15. Wir geben deshalb hier lediglich die Beweisidee an und lassen die Details weg (vgl. auch Übungsaufgabe 4.1).
• Und zwar sei $Y=\char93 \{i:\,1\le i\le n,\, X_i\le y\}$ und $Z=\char93 \{i:\,1\le i\le n,\, y\le X_i\le z\}$ für beliebige $y<z$.
• Dann kann man leicht zeigen, dass für $1\le k,\ell\le n$
  $$P(Y=k,\,Z=\ell)=\;\frac{n!}{k!\,\ell!\,(n-k-\ell)!}\;\bigl(F(y)\bigr)^k \bigl(F(z)-F(y)\bigr)^\ell\bigl(1-F(z)\bigr)^{n-k-\ell}\,.$$

• Außerdem lässt sich die gemeinsame Verteilungsfunktion $F_{X_{(i)},X_{(j)}}:\mathbb{R}^2\to[0,1]$ der Ordnungsstatistiken $X_{(i)},X_{(j)}$ darstellen durch
  $$F_{X_{(i)},X_{(j)}}(y,z)=P(Y\ge i,\, Y+Z\ge j)=\sum\limits_{k=i}^{j-1}\sum\limits_{\ell=j-k}^{n-k}P(Y=k,\,Z=\ell)+P(Y\ge j)\,.$$

• Durch Einsetzen der vorhergenden Formel für $P(Y=k,\,Z=\ell)$ bzw. $P(Y\ge j)$ ergibt sich nun die Behauptung (55).
  
  $\Box$

Beachte

 

• Es lassen sich auch Formeln für die gemeinsame Dichte von drei und mehr Ordnungsstatistiken herleiten.
• Insbesondere gilt für die gemeinsame Dichte $f_{X_{(1)},\ldots,X_{(n)}}:\mathbb{R}^n\to[0,\infty)$ aller Ordnungsstatistiken $X_{(1)},\ldots,X_{(n)}$:

  $$f_{X_{(1)},\ldots,X_{(n)}}(x_1,\ldots,x_n)= \left\{\begin{array}... ...x_1<\ldots<x_n<\infty$,} \\ [3\jot] 0\,, & \mbox{sonst,} \end{array}\right.$$ (56)

  
  
  vgl. Übungsaufgabe 4.2.