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Verteilung des maximalen Schätzfehlers

Theorem 1.19   Für jede stetige Verteilungsfunktion $ F:\mathbb{R}\to[0,1]$ gilt

$\displaystyle D_n\stackrel{{\rm d}}{=}\sup\limits_{y\in[0,1]}\bigl\vert\,\,\widehat
 G_n(y)-y\bigr\vert\,,$ (78)

wobei $ \,\widehat G_n:\mathbb{R}\times\Omega\to[0,1]$ die empirische Verteilungsfunktion einer beliebigen Zufallsstichprobe $ (Y_1,\ldots,Y_n)$ ist, die aus $ n$ unabhängigen und in dem Intervall $ [0,1]$ gleichverteilten Stichprobenvariablen $ Y_1,\ldots,Y_n$ besteht.

Beweis
 

Korollar 1.3   Für jede stetige Verteilungsfunktion $ F:\mathbb{R}\to[0,1]$ gilt

$\displaystyle D_n\stackrel{{\rm d}}{=}\max\limits_{i\in\{1,\ldots,n\}}
 \max\Bigl\{Y_{(i)}-\frac{i-1}{n}\,,\,
 \frac{i}{n}-Y_{(i)}\Bigr\}\,,$ (81)

wobei $ Y_{(i)}$ die $ i$-te Ordnungsstatistik der in $ [0,1]$ gleichverteilten Stichprobenvariablen $ Y_1,\ldots,Y_n$ ist.

Beweis
 


Beachte
 

Theorem 1.20   Falls die Verteilungsfunktion $ F:\mathbb{R}\to[0,1]$ der Stichprobenvariablen $ X_1,\ldots,X_n$ stetig ist, dann gilt für jedes $ x\in\mathbb{R}$

$\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}P\bigl(\sqrt{n}\,D_n\le x\bigr)= K(x)\,,$ (82)

wobei

$\displaystyle K(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1-2\sum\limits_{k=1}^\infty
 (-1)^{...
...box{falls $x>0$,}\\  [3\jot]
 0\,, & \mbox{falls $x\le 0$.}
 \end{array}\right.$ (83)

Der Beweis von Theorem 1.20 ist tiefliegend und geht über den Rahmen dieser einführenden Vorlesung hinaus; vgl. beispielsweise Kapitel 13 in L. Breiman (1992), Probability, 2nd ed., SIAM, Philadelphia.
Beachte
 

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Ursa Pantle 2004-07-14