Konfidenzintervall und Konfidenzniveau

Anstelle jeweils eine (einzelne) Stichprobenfunktion zu betrachten, wie wir es in den Abschnitten 1 und 2 getan haben, betrachten wir nun

• zwei Stichprobenfunktionen $\underline\theta:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$ und $\overline\theta:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$, so dass

  $$\underline\theta(x_1,\ldots,x_n)\le\overline\theta(x_1,\ldots,x_n) \qquad\forall (x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n\,.$$ (1)

  
  

Definition

 

• Sei $\gamma\in(0,1)$ eine beliebige, jedoch fest vorgegebene Zahl.
• Dann heißt das zufällige Intervall $\bigl(\underline\theta(X_1,\ldots,X_n),\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)\bigr)$ Konfidenzintervall für $\theta_j$ zum Niveau $\gamma$, falls

  $$P_\theta (\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)\le\theta_j\le\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)) \ge\gamma$$ (2)

  
  
  für jedes $\theta\in\Theta$.

Beachte

 

• Die Stichprobenfunktionen $\underline\theta$ und $\overline\theta$ sind nicht eindeutig bestimmt.
• Sie sollten so gewählt werden, dass das Konfidenzintervall $\bigl(\underline\theta(X_1,\ldots,X_n),\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)\bigr)$ bei gegebenem Niveau $\gamma$ möglichst kurz ist.
• Weil das Konfidenzintervall möglichst kurz sein soll, wird anstelle von (2) manchmal auch die folgende Bedingung betrachtet:

  $$\inf\limits _{\theta\in\Theta}P_\the... ...theta(X_1,\ldots,X_n)\le\theta_j\le\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)) =\gamma\,.$$ (3)

  
  

• Falls (3) gilt, dann nennt man $\bigl(\underline\theta(X_1,\ldots,X_n),\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)\bigr)$ minimales Konfidenzintervall für $\theta_j$ zum Niveau $\gamma$).
• Wenn (bei vorgegebenem $\theta$) die Verteilung der Zufallsvariablen $\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)$ und $\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)$ schwierig handhabbar bzw. unbekannt ist, d.h., wenn es nicht möglich ist, die Gültigkeit von (2) bzw. (3) nachzuweisen, dann kann beispielsweise die folgende Bedingung betrachtet werden:

  $$\lim\limits _{n\to\infty} P_\theta (\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)\le\theta_j\le\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)) \ge\gamma$$ (4)

  
  
  für jedes $\theta\in\Theta$.
• Falls (4) gilt, dann nennt man $\bigl(\underline\theta(X_1,\ldots,X_n),\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)\bigr)$ Konfidenzintervall für $\theta_j$ zum asymptotischen Niveau $\gamma$ (bzw. asymptotisches Konfidenzintervall zum Niveau $\gamma$).

Die praktische Berechnung eines (konkreten) Konfidenzintervalls $\bigl(\underline\theta(x_1,\ldots,x_n),\overline\theta(x_1,\ldots,x_n)\bigr)$ für $\theta_j$ auf der Basis einer (konkreten) Stichprobe $(x_1,\ldots,x_n)$ besteht aus den folgenden Schritten:

1. Bestimme zwei Stichprobenfunktionen $\underline\theta:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$ und $\overline\theta:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$, so dass
   • (1) gilt und
   • eine der Bedingungen (2)-(4) erfüllt ist.
2. Berechne die Funktionswerte $\underline\theta(x_1,\ldots,x_n)$ und $\overline\theta(x_1,\ldots,x_n)$.