Konfidenzintervalle für die Varianz

In diesem Abschnitt diskutieren wir Konfidenzintervalle für die Varianz $\sigma^2$, wobei wir zunächst annehmen, dass der Erwartungswert $\mu$ unbekannt ist.

• Aus Theorem 1.11 ergibt sich dann, dass für beliebige $\alpha_1,\alpha_2\in[0,1/2)$ mit $\alpha_1+\alpha_2=\alpha\in(0,1)$

  $$P_\theta\Bigl(\chi^2_{n-1,\alpha_2}\le\frac{(n-1)S_n^2}{\sigma^2}\le \chi^2_{n-1,1-\alpha_1}\Bigr)=1-\alpha\,.$$ (20)

  
  

• Dies ergibt das Konfidenzintervall $\bigl(\underline\theta(X_1,\ldots,X_n),\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)\bigr)$ für $\sigma^2$ zum Niveau $\gamma=1-\alpha$ mit

  $$\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\frac{(n-1)S_n^2}{\chi^2_{n-1,1-\alpha_1}} \qquad \overline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\frac{(n-1)S_n^2}{\chi^2_{n-1,\alpha_2}}\;.$$ (21)

  
  

• Für die Länge $\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)-\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)$ dieses Konfidenzintervalls gilt

  $$\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)-\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)=... ...^2\Bigl(\frac{1}{\chi^2_{n-1,\alpha_2}}-\frac{1}{\chi^2_{n-1,1-\alpha_2}}\Bigr)$$ (22)

  
  
  mit
  $${\mathbb{E}\,}\bigl(\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)-\underline\th... ...gl(\frac{1}{\chi^2_{n-1,\alpha_2}}-\frac{1}{\chi^2_{n-1,1-\alpha_2}}\Bigr)\,.$$

Falls der Erwartungswert $\mu$ bekannt ist, dann lässt sich mit Hilfe der modifizierten Stichprobenvarianz $\widetilde S_n^2$ ein weiteres Konfidenzintervall für die Varianz $\sigma^2$ konstruieren, wobei

$$\widetilde S_n^2=\frac{1}{n}\sum\limits _ {i=1}^n(X_i-\mu)^2\,.$$

• Weil $(X_i-\mu)/\sigma\sim$ N$(0,1)$, ergibt sich unmittelbar aus der Definition der $\chi ^2$-Verteilung, dass $n\widetilde S^2/\sigma^2$ eine $\chi ^2$-verteilte Zufallsvariable mit $n$ Freiheitsgraden ist.
• Für beliebige $\alpha_1,\alpha_2\in[0,1/2)$ mit $\alpha_1+\alpha_2=\alpha\in(0,1)$ gilt also

  $$P_\theta\Bigl(\chi^2_{n,\alpha_2}\le\frac{n\widetilde S_n^2}{\sigma^2}\le \chi^2_{n,1-\alpha_1}\Bigr)=1-\alpha\,.$$ (23)

  
  

• Dies ergibt das folgende (modifizierte) Konfidenzintervall $\bigl(\underline\theta(X_1,\ldots,X_n),\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)\bigr)$ für $\sigma^2$ zum Niveau $\gamma=1-\alpha$ mit

  $$\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\frac{n\widetilde S_n^2}{\chi^2_{n,1-\alpha_1}} \qquad \overline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\frac{n\widetilde S_n^2}{\chi^2_{n,\alpha_2}}\;,$$ (24)

  
  
  wobei

  $$\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)-\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)=... ... S_n^2\Bigl(\frac{1}{\chi^2_{n,\alpha_2}}-\frac{1}{\chi^2_{n,1-\alpha_2}}\Bigr)$$ (25)

  
  
  mit
  $${\mathbb{E}\,}\bigl(\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)-\underline\th... ...2\Bigl(\frac{1}{\chi^2_{n,\alpha_2}}-\frac{1}{\chi^2_{n,1-\alpha_2}}\Bigr)\,.$$

Beachte

 

• Die in (25) gegebene Länge $\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)-\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)$ des modifizierten Konfidenzintervalls kann größer als die Länge (22) des Intervalls sein, das in (21) für den Fall betrachtet wurde, dass der Ertwartungswert $\mu$ unbekannt ist.
• Der Grund hierfür ist, dass ,,untypische'' Stichprobenwerte, die große Abweichungen vom Erwartungswert $\mu$ aufweisen, besser durch das Stichprobenmittel $\overline X_n$ als durch $\mu$ kompensiert werden.