Konfidenzintervalle für den Erwartungswert

Um Konfidenzintervalle für den Erwartungswert der normalverteilten Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$ herzuleiten, nehmen wir zunächst an, dass die Varianz bekannt ist, d.h., es gelte $X_i\sim$ N $(\mu,\sigma^2)$ für ein (unbekanntes) $\mu\in\mathbb{R}$ und ein (bekanntes) $\sigma^2>0$.

• In Theorem 1.11 hatten wir gezeigt, dass $\sqrt{n}(\overline X_n-\mu)/\sigma\sim$ N$(0,1)$.
• Hieraus ergibt sich, dass für $\alpha\in(0,1)$

  $$P_\theta\Bigl(z_{\alpha/2}\le\sqrt{n}\frac{\overline X_n-\mu}{\sigma}\le z_{1-\alpha/2}\Bigr)=1-\alpha\,.$$ (11)

  
  

• Unter Berücksichtigung von (6) ergibt sich somit, dass für jedes $\theta=(\mu,\sigma^2)\in\mathbb{R}\times(0,\infty)$
  $$P_\theta\Bigl(-z_{1-\alpha/2}\le\sqrt{n}\frac{\overline X_n-\mu}{\sigma}\le z_{1-\alpha/2}\Bigr)=1-\alpha$$
  bzw.
  $$P_\theta\Bigl(\overline X_n-z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}... ...mu \le\overline X_n+z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \Bigr)=1-\alpha\,.$$

• Also ist mit

  $$\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\overline X_n-z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \qquad \overline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\overline X_n+z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ (12)

  
  
  ein Konfidenzintervall $\bigl(\underline\theta(X_1,\ldots,X_n),\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)\bigr)$ für $\mu$ zum Niveau $\gamma=1-\alpha$ gegeben.
• Für die Länge $\ell(X_1,\ldots,X_n)$ dieses Konfidenzintervalls gilt
  

  $$\ell(X_1,\ldots,X_n) = \overline\theta(X_1,\ldots,X_n)-\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)$$

  $$= z_{1-\alpha/2}\frac{2\sigma}{\sqrt{n}}\;.$$

  
  

• Hieraus ergibt sich insbesondere, dass $\ell(X_1,\ldots,X_n)$ nicht vom Zufall abhängt.
• Außerdem erkennen wir, dass die Länge $\ell(X_1,\ldots,X_n)$ des in (12) gegebenen Konfidenzintervalls klein ist, falls das Niveau $\gamma=1-\alpha$ klein, die Varianz $\sigma^2$ klein bzw. der Stichprobenumfang $n$ groß ist.
• Man kann sich leicht überlegen, dass $\ell(X_1,\ldots,X_n)\le\varepsilon$ gilt, falls

  $$n\ge\Bigl(\frac{2\sigma z_{1-\alpha/2}}{\varepsilon}\Bigr)^2\;,$$ (13)

  
  
  wobei $\varepsilon>0$ ein vorgegebener Schwellenwert ist.

Beispiel

 

• Für eine (konkrete) Stichprobe $(x_1,\ldots,x_n)$, die wir als Realisierung der Zufallsstichprobe $(X_1,\ldots,X_n)$ auffassen, ergibt sich nun das ,,konkrete'' Konfidenzintervall $\bigl(\underline\theta(x_1,\ldots,x_n),\overline\theta(x_1,\ldots,x_n)\bigr)$ durch Einsetzen in (12).
• Falls beispielsweise für $\gamma=0.95$ und $\sigma=0,10$ ein solches Konfidenzintervall für die folgenden Daten $41.60,\, 41.48,\, 42.34,\, 41.95,\, 41.86,\, 42.18,\, 41.72,\, 42.26,\, 41.81,\, 42.04$ ermittelt werden soll,
• dann entnehmen wir zunächst das Quantil $z_{0,975}=1,96$ aus Tabelle 1
• und erhalten somit für $n=10$
  

  $$\underline\theta(x_1,\ldots,x_n) =\overline x_n-z_{1-\frac{\alpha }{2}}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}= \displaystyle 41.924-1.96\,\frac{0.1}{\sqrt{10}} =41.862$$

  $$\overline\theta(x_1,\ldots,x_n)=\overline x_n+z_{1-\frac{\alpha }{2}}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}= \ldots =41.986$$

  
  

• Somit ergibt sich das (konkrete) Konfidenzintervall $(41.862,41.986)$ für den Erwartungswert $\mu$.

Beachte

 

• Das in (12) betrachtete (symmetrische) Konfidenzintervall kann dahingehend verallgemeinert werden, dass anstelle von (11) die folgende Gleichung für beliebige $\alpha_1,\alpha_2\in[0,1/2)$ mit $\alpha_1+\alpha_2=\alpha\in(0,1)$ betrachtet wird:

  $$P_\theta\Bigl(z_{\alpha_2}\le\sqrt{n}\frac{\overline X_n-\mu}{\sigma}\le z_{1-\alpha_1}\Bigr)=1-\alpha\,.$$ (14)

  
  

• Hieraus ergibt sich dann das (asymmetrische) Konfidenzintervall $\bigl(\underline\theta(X_1,\ldots,X_n),\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)\bigr)$ für $\mu$ zum Niveau $\gamma=1-\alpha$ mit

  $$\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\overline X_n-z_{1-\alpha_1}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \qquad \overline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\overline X_n+z_{1-\alpha_2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\;.$$ (15)

  
  

• Für $\alpha_1=0$ ergibt sich insbesondere das sogenannte einseitige Konfidenzintervall $\bigl(-\infty,\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)\bigr)$ für $\mu$ zum Niveau $\gamma=1-\alpha$ mit
  $$\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\overline X_n+z_{1-\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\;.$$

• Analog ergibt sich für $\alpha_2=0$ das einseitige Konfidenzintervall $\bigl(\underline\theta(X_1,\ldots,X_n),\infty\bigr)$ für $\mu$ zum Niveau $\gamma=1-\alpha$ mit
  $$\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\overline X_n-z_{1-\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\;.$$

Im Unterschied zu dem oben diskutierten Fall nehmen wir nun an, dass $X_i\sim$N $(\mu,\sigma^2)$, wobei sowohl $\mu\in\mathbb{R}$ als auch $\sigma^2>0$ unbekannt seien.

• Dabei lassen sich auf ähnliche Weise (wie bei bekanntem $\sigma^2$) symmetrische, allgemeine bzw. einseitige Konfidenzintervalle für $\mu$ gewinnen.
• Die bisher konstruierten Konfidenzintervalle für $\mu$ sind jetzt jedoch nicht mehr geeignet, weil sie die (unbekannte) Größe $\sigma$ enthalten.
• Wir nutzen vielmehr das Ergebnis von Theorem 1.13 und erkennen (vgl. auch die Formel (1.45)), dass für beliebige $\alpha\in(0,1)$ und $\theta=(\mu,\sigma^2)\in\mathbb{R}\times(0,\infty)$

  $$P_\theta\Bigl(t_{n-1,\alpha/2}\le\frac{\sqrt{n}(\overline X_n-\mu )}{S_n}\le t_{n-1,1-\alpha/2}\Bigr)=1-\alpha$$ (16)

  
  
  bzw. wegen (7)
  $$P_\theta\Bigl(-t_{n-1,1-\alpha/2}\le\frac{\sqrt{n}(\overline X_n-\mu )}{S_n}\le t_{n-1,1-\alpha/2}\Bigr)=1-\alpha$$

• D.h.
  $$P_\theta\Bigl(\overline X_n-t_{n-1,1-\alpha/2}\frac{S_n}{\sqrt{n... ...u \le\overline X_n+t_{n-1,1-\alpha/2}\frac{S_n}{\sqrt{n}} \Bigr)=1-\alpha\,.$$

• Also ist mit

  $$\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\overline X_n-t_{n-1,1-\alpha/2}\frac{S_n}{\sqrt{n}} \qquad \overline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\overline X_n+t_{n-1,1-\alpha/2}\frac{S_n}{\sqrt{n}}$$ (17)

  
  
  ein (symmetrisches) Konfidenzintervall für $\mu$ zum Niveau $\gamma=1-\alpha$ gegeben.

Beachte

 

• Das in (17) betrachtete (symmetrische) Konfidenzintervall kann dahingehend verallgemeinert werden, dass anstelle von (16) die folgende Gleichung für beliebige $\alpha_1,\alpha_2\in[0,1/2)$ mit $\alpha_1+\alpha_2=\alpha\in(0,1)$ betrachtet wird:

  $$P_\theta\Bigl(t_{n-1,\alpha_2}\le\frac{\sqrt{n}(\overline X_n-\mu )}{S_n}\le t_{n-1,1-\alpha_1}\Bigr)=1-\alpha\,.$$ (18)

  
  

• Hieraus ergibt sich dann das (asymmetrische) Konfidenzintervall $\bigl(\underline\theta(X_1,\ldots,X_n),\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)\bigr)$ für $\mu$ zum Niveau $\gamma=1-\alpha$ mit

  $$\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\overline X_n-t_{n-1,1-\alpha_1}\frac{S_n}{\sqrt{n}} \qquad \overline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\overline X_n+t_{n-1,1-\alpha_2}\frac{S_n}{\sqrt{n}}\;.$$ (19)

  
  

• Für $\alpha_1=0$ ergibt sich insbesondere das einseitige Konfidenzintervall $\bigl(-\infty,\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)\bigr)$ für $\mu$ zum Niveau $\gamma=1-\alpha$ mit
  $$\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\overline X_n+t_{n-1,1-\alpha}\frac{S_n}{\sqrt{n}}\;.$$

• Analog ergibt sich für $\alpha_2=0$ das einseitige Konfidenzintervall $\bigl(\underline\theta(X_1,\ldots,X_n),\infty\bigr)$ für $\mu$ zum Niveau $\gamma=1-\alpha$ mit
  $$\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\overline X_n-t_{n-1,1-\alpha}\frac{S_n}{\sqrt{n}}\;.$$