Problemstellung und Modellbeschreibung

Genauso wie in Kapitel 1-3 nehmen wir auch in diesem Kapitel an, dass

• die Stichprobenvariablen $X_1,X_2,\ldots$ unabhängig und identisch verteilt sind und dass
• der Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\mathcal{F},P)$, über dem die Stichprobenvariablen $X_1,X_2,\ldots$ definiert sind, der kanonische Wahrscheinlichkeitsraum dieser Zufallsvariablen ist.
• Dabei prüfen wir nun Hypothesen (d.h. Vermutungen) über die Beschaffenheit der unbekannten Verteilung bzw. der Verteilungsfunktion der Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$.

In dieser einführenden Vorlesung untersuchen wir vor allem

• parametrische Tests, bei denen vorausgesetzt wird, dass die Verteilung der Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$ zu einer vorgegebenen parametrischen Familie von Verteilungen $\{P_\theta,\,\theta\in\Theta\}$ gehört; $\Theta\subset\mathbb{R}^m$ mit $m<\infty$.

Darüber hinaus gibt es aber auch

• nichtparametrische Tests, bei denen nicht vorausgesetzt wird, dass die Verteilung der Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$ zu einer vorgegebenen parametrischen Familie von Verteilungen gehört, vgl. die Vorlesung ,,Statistik II''.

Beachte

 

• Wir betrachten zunächst lediglich sogenannte nichtrandomisierte Tests.
• Die Entscheidung, ob eine Hypothese verworfen wird (bzw. ob sie nicht verworfen wird), hängt dabei nur von den beobachten Daten $x_1,\ldots,x_n$ ab, d.h. von der beobachteten Realisierung $(x_1,\ldots,x_n)$ der Zufallsstichprobe $(X_1,\ldots,X_n)$.
• Die Entscheidungsregel wird so konstruiert, dass die Wahrscheinlichkeiten von Fehlentscheidungen möglichst klein sind (bzw. vorgegebene Schwellenwerte nicht überschreiten).
• Dabei kann man ähnlich wie bei der Konstruktion von Konfidenzintervallen zu einem (vorgegebenen) Konfidenzniveau $\gamma=1-\alpha$ vorgehen, die in Abschnitt 3 diskutiert worden sind,
• denn bei einem Konfidenzintervall $\bigl(\underline\theta(X_1,\ldots,X_n),\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)\bigr)$ für einen unbekannten Parameterwert $g(\theta)$ kann man $\alpha$ als die ,,Fehlerwahrscheinlichkeit'' interpretieren, dass der Wert $g(\theta)$ nicht von dem Konfidenzintervall $\bigl(\underline\theta(X_1,\ldots,X_n),\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)\bigr)$ überdeckt wird, d.h., dass $g(\theta)$ nicht innerhalb der Schranken $\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)$ bzw. $\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)$ liegt.