Null-Hypothese und Alternativ-Hypothese; kritischer Bereich

Sei $\Delta$ die Familie der insgesamt in Betracht gezogenen (d.h. potentiell möglichen bzw. zulässigen) Verteilungsfunktionen $F$ der Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$.

• Zerlegen $\Delta$ in zwei (nichtleere) Teilmengen $\Delta_0$ und $\Delta_1$, d.h.
  $$\Delta=\Delta_0\cup\Delta_1\,,$$   wobei$$\qquad \Delta_0\cap\Delta_1=\emptyset\,.$$

• Betrachten die Hypothesen
  $$H_0: F\in\Delta_0$$   bzw.$$\qquad H_1: F\in\Delta_1\,,$$
  dass die unbekannte Verteilungsfunktion $F$ der Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$ zu der Teilmenge $\Delta_0\subset\Delta$ bzw. $\Delta_1\subset\Delta$ innerhalb der Familie $\Delta$ der insgesamt in Betracht gezogenen Verteilungsfunktionen gehört.

Dabei ist die folgende Sprechweise üblich:

• Die Hypothese $H_0: F\in\Delta_0$ heißt Nullhypothese, während $H_1: F\in\Delta_1$ Alternativhypothese genannt wird.
• Die Nullhypothese $H_0$ bzw. die Alternativhypothese $H_1$ heißen einfach, falls die Teilmenge $\Delta_0$ bzw. $\Delta_1$ nur aus einem Element besteht. Ansonsten sagt man, dass $H_0$ bzw. $H_1$ zusammengesetzte Hypothesen sind.

Um zwischen der Nullhypothese $H_0$ und der Alternativhypothese $H_1$ abwägen zu können, wird ein Test, d.h. eine Entscheidungsregel nach dem folgenden Prinzip konstruiert:

• Der Stichprobenraum $\mathbb{R}^n$ wird in zwei Borel-Mengen $K$ und $K^c=\mathbb{R}^n\setminus K$ zerlegt.
• Dabei heißt $K\subset\mathbb{R}^n$ der kritische Bereich (d.h. der Ablehnungsbereich der Nullhypothese $H_0$).
• Die Nullhypothese $H_0$ wird verworfen (d.h. abgelehnt), falls $(x_1,\ldots,x_n)\in K$.
• Ansonsten, d.h., falls $(x_1,\ldots,x_n)\not\in K$, wird $H_0$ nicht verworfen.

Mit anderen Worten:

• Betrachten die Stichprobenfunktion $\varphi:\mathbb{R}^n\to\{0,1\}$ mit

  $$\varphi(x_1,\ldots,x_n)=\left\{\begin{array}{ll} 1\,, &\mbox{fall... ...n K$,}\\ 0\,, &\mbox{falls $(x_1,\ldots,x_n)\not\in K$.} \end{array}\right.$$ (1)

  
  

• Die Nullhypothese $H_0$ wird also verworfen, falls $\varphi(x_1,\ldots,x_n)=1$.
• Ansonsten, d.h., falls $\varphi(x_1,\ldots,x_n)=0$, wird $H_0$ nicht verworfen.

Dies führt zu der folgenden

Definition

$\;$ Sei $\alpha\in(0,1)$ eine beliebige, jedoch vorgegebene Zahl. Man sagt, dass die in (1) eingeführte Stichprobenfunktion $\varphi:\mathbb{R}^n\to\{0,1\}$ ein

• (nichtrandomisierter) Test zum Niveau $\alpha$ ist, falls

  $$P_F(\varphi(X_1,\ldots,X_n)=1)\le\alpha\,,\qquad\forall\, F\in\Delta_0\,,$$ (2)

  
  
  wobei $P_F$ das kanonische Wahrscheinlichkeitsmaß, d.h. die (gemeinsame) Verteilung der Zufallsstichprobe $(X_1,\ldots,X_n)$ bezeichnet, die als Produkt-Maß aus der Verteilungsfunktion $F$ der (einzelnen) Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$ gebildet wird.
• Falls außerdem noch

  $$P_F(\varphi(X_1,\ldots,X_n)=1)\ge\alpha\,,\qquad\forall\, F\in\Delta_1\,,$$ (3)

  
  
  dann heißt $\varphi:\mathbb{R}^n\to\{0,1\}$ ein unverfälschter Test zum Niveau $\alpha$.