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Parametrische Tests

Falls die Familie $ \Delta$ der insgesamt in Betracht gezogenen Verteilungen der Stichprobenvariablen $ X_1,\ldots,X_n$ eine parametrische Familie % latex2html id marker 31681
$ \Delta=\{P_\theta,\,\theta\in\Theta\}$ von Verteilungen ist, dann zerlegen wir $ \Delta$ auf die folgende Weise in zwei Teilmengen $ \Delta_0$ und $ \Delta_1$:
Beispiel
$ \;$ Sei $ \Delta=\{$N $ (\mu,\sigma^2),\,\mu\in\mathbb{R}\}$ die Familie der (eindimensionalen) Normalverteilungen mit einer vorgegebenen (bekannten) Varianz $ \sigma^2$. Dann ist $ H_0: \mu=0$ eine einfache Hypothese, während $ H_1: \mu\not=0$ eine zusammengesetzte Hypothese ist.
Für parametrische Verteilungsfamilien können die Begriffe, die bisher in Abschnitt 4 eingeführt worden sind, wie folgt spezifiziert bzw. durch weitere Begriffe ergänzt werden.
Definition
 
Beachte
 
  1. Bei der praktischen Konstruktion des kritischen Bereiches $ K$ eines Parametertests zum Niveau $ \alpha$ kann oft wie folgt vorgegangen werden:
    • Bestimme eine Stichprobenfunktion $ T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ (genannt Testgröße), so dass
    • die Zufallsvariable $ T(X_1,\ldots,X_n)$ für % latex2html id marker 31786
$ \theta\in\Theta_0$ eine bekannte (Prüf-) Verteilung hat, und
    • bestimme einen Schwellenwert $ c>0$, so dass $ P_\theta\bigl(\vert T(X_1,\ldots,X_n)\vert>c\bigr)\le\alpha$ für % latex2html id marker 31792
$ \theta\in\Theta_0$ gilt.
    • Dann ist mit $ K=\{(x_1,\ldots,x_n):\,\vert T(x_1,\ldots,x_n)\vert>c\}$ der kritische Bereich eines Parametertests zum Niveau $ \alpha$ gegeben.
  2. Um einen Test zum Niveau $ \alpha$ mit einer möglichst großen Macht zu erhalten, ist es jedoch manchmal zweckmäßiger,
    • zwei Schwellenwerte $ c_1,c_2\in\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$ mit $ c_1<c_2$ zu betrachten, so dass für % latex2html id marker 31804
$ \theta\in\Theta_0$

      $\displaystyle P_\theta\bigl(c_1\le T(X_1,\ldots,X_n)\le c_2\bigr)\ge 1-\alpha\,.
$

    • Dann ist mit $ K=\mathbb{R}^n\setminus\{(x_1,\ldots,x_n):\,c_1\le
T(x_1,\ldots,x_n)\le c_2\}$ der kritische Bereich eines (asymmetrischen) Parametertests zum Niveau $ \alpha$ gegeben.
In den folgenden Abschnitten wird dieses Konstruktionsprinzip anhand einer Reihe von Beispielen näher diskutiert.
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Ursa Pantle 2004-07-14