Zusammengesetzte Poisson-Prozesse

Wir verallgemeinern das mit Hilfe von (22) eingeführte Modell eines homogenen Poisson-Prozesses $\{N_t,t\ge 0\}$, indem wir nun zulassen, dass die Sprunghöhen beliebige Zufallsvariablen sind, die nicht notwendig gleich Eins sein müssen.

• Außer der Folge der Sprungzeitpunkte $S_1,S_2,\ldots$ mit $0<S_1<S_2<\ldots$ betrachten wir deshalb zusätzlich eine Folge von Zufallsvariablen $U_1,U_2,\ldots:\Omega\to\mathbb{R}$, die die Sprunghöhen des zu konstruierenden (Sprung-) Prozesses sein werden.
• So wie in Abschnitt 2.2.1 nehmen wir an, dass $S_n=T_1+\ldots +T_n$ gilt, wobei $T_1,T_2,\ldots:\Omega\to[0,\infty)$ eine Folge von unabhängigen und identisch Exp($\lambda$)-verteilten Zwischenankunftszeiten ist.
• Dabei wird vorausgesetzt, dass $U_1,U_2,\ldots$ eine Folge von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen ist, die von der Folge der Zwischenankunftszeitpunkte $T_1,T_2,\ldots$ unabhängig ist.

Definition

$\;$ Der stochastische Prozess $\{X_t, t\ge 0\}$ mit

$$X_t=\sum_{k=1}^\infty U_k{1\hspace{-1mm}{\rm I}}(S_k\le t) =\sum_{k=1}^{N_t}U_k$$ (30)

heißt zusammengesetzter Poisson-Prozess mit den Charakteristiken $(\lambda,\,F_U)$, wobei $F_U$ die Verteilungsfunktion der Sprunghöhen $U_1,U_2,\ldots$ bezeichnet.

Theorem 2.10   Sei $\{X_t\}$ ein zusammengesetzter Poisson-Prozess mit den Charakteristiken $(\lambda,F_U)$, so dass die momenterzeugende Funktion $\hat m_U(s)={\mathbb{E}\,}\, {\rm e}^{sU_n}$ von $U_n$ für jedes $s\in\mathbb{R}$ wohldefiniert sei. Dann gilt:

(a)

$\{X_t\}$ hat stationäre und unabhängige Zuwächse.

(b)

Für beliebige $s\in\mathbb{R}$ und $t\ge 0$ ist die momenterzeugende Funktion $\hat m_{X_t}(s)={\mathbb{E}\,}\, {\rm e}^{sX_t}$ von $X_t$ gegeben durch

$$\hat m_{X_t}(s)={\rm e}^{\lambda t(\hat m_U(s)-1)}\,,$$ (31)

und es gilt

$${\mathbb{E}\,}X_t =\lambda t\mu_U\,,\qquad {\rm Var\,}X_t=\lambda t\mu_U^{(2)}\,,$$ (32)

wobei $\mu_U={\mathbb{E}\,}U_n$ und $\mu_U^{(2)}={\mathbb{E}\,}U_n^2$ die ersten beiden Momente der Sprunghöhen $U_n$ sind.

Beweis

$\;$

• Um die Teilaussage (a) zu beweisen, genügt es zu zeigen, dass für beliebige $n=1,2,\ldots, h\ge 0$ und $0\le t_0< t_1<\ldots<t_n$ die Zufallsvariablen
  $$\sum_{i_1=N_{t_0+h}+1}^{N_{t_1+h}}U_{i_1}\,,\ldots\,, \sum_{i_n=N_{t_{n-1}+h}+1}^{N_{t_n+h}}U_{i_n}$$
  unabhängig sind und dass ihre Verteilungen nicht von $h$ abhängen.
• Weil die Folge $\{U_n\}$ aus unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen besteht, die unabhängig von $\{T_n\}$ sind, gilt für beliebige $x_1,\ldots,x_n\ge 0$
  

  $${P\Big(\sum_{i_1=N_{t_0+h}+1}^{N_{t_1+h}}U_{i_1}\le x_1\,,\ldots\,, \sum_{i_n=N_{t_{n-1}+h}+1}^{N_{t_n+h}}U_{i_n}\le x_n\Big)}$$

  $$= \sum_{k_1,\ldots,k_n\ge 0}\;\prod_{j=1}^n F_U^{*k_j}(x_j) P(N_{t_1+h}-N_{t_0+h}=k_1\,, \ldots\,,\ N_{t_n+h}-N_{t_{n-1}+h}=k_n)\,.$$

  
  

• Es genügt nun zu beachten, dass wir in Theorem 2.9 gezeigt hatten, dass der Poisson-Prozess $\{N_t\}$ unabhängige und stationäre Zuwächse hat.
• Unter Berücksichtigung unserer Unabhängigkeits- und Verteilungsannahmen ergibt sich die Formel (31) in Teilaussage (b) unmittelbar aus der Formel der totalen Wahrscheinlicheit.
• Die Formeln in (32) ergeben sich durch Differenzieren beider Seiten von (31).
  
  $\Box$

Beachte

$\;$ Die Verteilung einer Zufallsvariablen, deren momenterzeugende Funktion die Form (31) hat, heißt zusammengesetzte Poisson-Verteilung mit den Charakteristiken $(\lambda,F_U)$.