Bedingte Erwartung und bedingte Wahrscheinlichkeit

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Bedingte Erwartung und bedingte Wahrscheinlichkeit

Um den in Abschnitt 2.2.1 betrachteten Begriff des (homogenen) Poissonschen Z�hlprozesses $\{N_t,t\ge 0\}$ noch in eine andere Richtung verallgemeinern zu k�nnen, ben�tigen wir als Hilfsmittel die Begriffe der bedingten Erwartung bzw. der bedingten Wahrscheinlichkeit bez�glich einer beliebigen Teil- $\sigma$ -Algebra $\mathcal{G}\subset\mathcal{F}$ der Ereignis- $\sigma$ -Algebra $\mathcal{F}$ des zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitsraumes $(\Omega,\mathcal{F},P)$ .

Zur Illustration betrachten wir zun�chst den folgenden (elementaren) Spezialfall.
- Die $\sigma$ -Algebra $\mathcal{G}=\sigma(A_1,\ldots,A_n)$ sei eine endliche Familie von Teilmengen von $\Omega$ , die durch die Mengen $A_1,\ldots,A_n\in\mathcal{F}$ generiert wird, wobei $\bigcup_{i=1}^n A_i=\Omega$ und $A_i\cap A_j=\emptyset$ f�r beliebige $i,j\in\{1,\ldots,n\}$ mit $i\not= j$ gelte.
- Au�erdem sei $X:\Omega\to\mathbb{R}$ eine beliebige Zufallsvariable �ber dem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\mathcal{F},P)$ mit ${\mathbb{E}\,}\vert X\vert<\infty$ .
Dann ist bedingte Erwartung ${\mathbb{E}\,}(X\mid\mathcal{G})$ von bez�glich $\mathcal{G}$ eine Zufallsvariable ${\mathbb{E}\,}(X\mid\mathcal{G}):\Omega\to\mathbb{R}$ , deren (Funktions-) Werte gegeben sind durch

$\displaystyle {\mathbb{E}\,}(X\mid\mathcal{G})(\omega)=\sum_{i=1}^n {\mathbb{E}... ... A_i) \;{1\hspace{-1mm}{\rm I}}(A_i)(\omega)\qquad \forall\; \omega\in\Omega\,,$ (33)

wobei der bedingte Erwartungswert ${\mathbb{E}\,}(X\mid A_i)$ gegeben ist durch

$\displaystyle {\mathbb{E}\,}(X\mid A_i)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle \... ...A_i)}\;, & \mbox{falls $P(A_i)>0$,}\\ 0\,, & \mbox{sonst.} \end{array} \right.$ (34)

Beachte

$\;$

Falls , dann ist die in (34) gegebene Zahl ${\mathbb{E}\,}(X \vert A_i)$ der bedingte Erwartungswert von unter der Bedingung , d.h., der Erwartungswert bez�glich der bedingten Verteilung $\{P_{X\mid A_i}(B),\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\}$ , wobei

$\displaystyle P_{X\mid A_i}(B)=\frac{P(\{X_i\in B\}\cap A_i)}{P(A_i)}\qquad\forall\;B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\,.$
Von besonderer Wichtigkeit ist der Fall, dass die -Algebra durch die Urbilder einer (diskreten) Zufallsvariablen erzeugt wird, die nur endlich viele verschiedene Werte mit positiver Wahrscheinlichkeit annimmt:
- Sei $Y:\Omega\to\{0,1,\ldots,n\}$ eine Zufallsvariable, die nur die Werte $0,1,\ldots,n$ mit positiver Wahrscheinlichkeit annimmt, beispielsweise eine binomialverteilte Zufallsvariable, und
- sei $\mathcal{G}$ die $\sigma$ -Algebra $\sigma(Y)=Y^{-1}(\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ , d.h., die kleinste (endliche) Teil- $\sigma$ -Algebra von $\mathcal{F}$ , die die Urbilder $Y^{-1}(0),Y^{-1}(1),\ldots, Y^{-1}(n)$ enth�lt,
- dann wird die bedingte Erwartung ${\mathbb{E}\,}(X\mid\mathcal{G})$ auch mit dem Symbol ${\mathbb{E}\,}(X\mid Y)$ bezeichnet (und bedingte Erwartung von bez�glich genannt).
Sei $\omega\in\Omega$ , so dass $Y(\omega)=i$ . Dann ist der Funktionswert ${\mathbb{E}\,}(X\vert Y)(\omega)$ der Zufallsvariablen ${\mathbb{E}\,}(X\vert Y)$ gegeben durch den bedingten Erwartungswert

$\displaystyle {\mathbb{E}\,}(X\mid Y)(\omega)={\mathbb{E}\,}(X\mid Y=i)\,,$
wobei ${\mathbb{E}\,}(X\mid Y=i)$ eine Kurzschreibweise ist f�r ${\mathbb{E}\,}(X\mid \{Y=i\})$ .
Die bisher erl�uterte Vorgehensweise bei der Definition der bedingten Erwartung bez�glich einer (Teil-) -Algebra kann auch dann beibehalten werden,
- wenn $\mathcal{G}$ aus abz�hlbar unendlich vielen Teilmengen von $\Omega$ besteht,
- d.h., wenn $\mathcal{G}$ beispielsweise durch die Urbilder einer Poisson-verteilten Zufallsvariablen erzeugt wird,
- wobei dann lediglich die endliche Summe in (33) durch eine unendliche Summe ersetzt werden muss.
Die folgenden Eigenschaften der bedingten Erwartung ergeben sich unmittelbar aus der Definitionsgleichungen (33) und (34):
- Die Zufallsvariable ${\mathbb{E}\,}(X\vert Y):\Omega\to\mathbb{R}$ ist $(\mathcal{G},\,\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ -messbar.
- F�r beliebige $A\in\mathcal{G}$ gilt
  
  $\displaystyle \int\limits_A {\mathbb{E}\,}(X\vert Y)(\omega)P(d\omega)=\int\limits_A X(\omega)P(d\omega)\,.$ (35)
- Insbesondere gilt ${\mathbb{E}\,}({\mathbb{E}\,}(X\vert Y))={\mathbb{E}\,}X$ .

Die folgende (allgemeine) Definition der bedingten Erwartung beruht auf dem Satz von Radon-Nikodym der Ma�- und Integrationstheorie. Sie enth�lt die oben betrachteten Definitionsgleichungen (33) und (34) als Spezialfall.

Sei $X:\Omega\to\mathbb{R}$ eine beliebige Zufallsvariable �ber dem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\mathcal{F},P)$ mit ${\mathbb{E}\,}\vert X\vert<\infty$ ,
und sei $\mathcal{G}\subset\mathcal{F}$ eine beliebige Teil- $\sigma$ -Algebra von $\mathcal{F}$ .
Dann k�nnen wir das (endliche) signierte Ma� $Q:\mathcal{G}\to\mathbb{R}$ betrachten, wobei

$\displaystyle Q(A)=\int\limits_A X(\omega)P(d\omega)\qquad\forall\;A\in\mathcal{G}\,.$ (36)
F�r jedes $A\in\mathcal{G}$ gilt somit die Implikation: , falls .
Mit anderen Worten: Das in (36) definierte signierte Ma� ist absolutstetig bez�glich der Einschr�nkung von auf die Teil- $\sigma$ -Algebra $\mathcal{G}$ .
Aus dem Satz von Radon-Nikodym folgt nun, dass es eine $(\mathcal{G},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ -messbare Abbildung $Z:\Omega\to\mathbb{R}$ gibt, so dass

$\displaystyle \int\limits_A Z(\omega)P(d\omega)=\int\limits_A X(\omega)P(d\omega)\qquad\forall\,A\in\mathcal{G}\,,$ (37)

wobei die Funktionswerte der Abbildung mit Wahrscheinlichkeit eindeutig bestimmt sind.

Defintion: $\;$ Jede $(\mathcal{G},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ -messbare Abbildung $Z:\Omega\to\mathbb{R}$ , f�r die (37) gilt, hei�t eine Version der bedingten Erwartung von bez�glich $\mathcal{G}$ und wird mit ${\mathbb{E}\,}(X\mid\mathcal{G})$ bezeichnet.

Aus der Definitionsgleichung (37) und aus den allgemeinen Rechenregeln f�r das Lebesgue-Integral ergeben sich die folgenden Eigenschaften der bedingten Erwartung, die wir hier lediglich (ohne Beweis) erw�hnen.

Theorem 2.11 Seien $X,Y:\Omega\to\mathbb{R}$ beliebige Zufallsvariablen �ber $(\Omega,\mathcal{F},P)$ mit

$\displaystyle {\mathbb{E}\,}\vert X\vert<\infty\,,\qquad{\mathbb{E}\,}\vert Y\vert<\infty\,,\qquad{\mathbb{E}\,}\vert XY\vert<\infty\,,$

und sei $\mathcal{G}\subset\mathcal{F}$ eine beliebige Teil- $\sigma$ -Algebra von $\mathcal{F}$ . Dann gilt

1.: ${\mathbb{E}\,}(X\mid\{\emptyset,\Omega\})={\mathbb{E}\,}X,\,{\mathbb{E}\,}(X\mid\mathcal{F})=X$ ,
2.: ${\mathbb{E}\,}(aX+bY\mid\mathcal{G})=a\,{\mathbb{E}\,}(X\mid\mathcal{G})+b\,{\mathbb{E}\,}(Y\mid\mathcal{G})$ f�r beliebige $a,b\in\mathbb{R}$ ,
3.: ${\mathbb{E}\,}(X\mid\mathcal{G})\le{\mathbb{E}\,}(Y\mid\mathcal{G})$ , falls $X\le Y$ ,
4.: ${\mathbb{E}\,}(XY\mid\mathcal{G})=Y{\mathbb{E}\,}(X\mid\mathcal{G})$ , falls eine $(\mathcal{G},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ -messbare Zufallsvariable ist,
5.: ${\mathbb{E}\,}\bigl({\mathbb{E}\,}(X\mid\mathcal{G}_2)\mid\mathcal{G}_1\bigr)={\mathbb{E}\,}(X\mid\mathcal{G}_1)$ , falls $\mathcal{G}_1$ und $\mathcal{G}_2$ Teil- $\sigma$ -Algebren von $\mathcal{F}$ sind mit $\mathcal{G}_1\subset\mathcal{G}_2$ ,
6.: ${\mathbb{E}\,}(X\mid\mathcal{G})={\mathbb{E}\,}X$ , falls die $\sigma$ -Algebren $\mathcal{G}$ und $\sigma(X)=X^{-1}(\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ unabh�ngig sind, d.h., falls $P(A\cap A^\prime)=P(A)P(A^\prime)$ f�r beliebige $A\in\mathcal{G}$ und $A^\prime\in\sigma(X)$ .
7.: ${\mathbb{E}\,}\bigl(f(X)\mid \mathcal{G}\bigr)\ge f\bigl({\mathbb{E}\,}(X\mid \mathcal{G})\bigr)$ , falls $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ eine konvexe Funktion ist, so dass ${\mathbb{E}\,}\vert f(X)\vert<\infty$ .

Beachte

$\;$ Au�erdem sind die folgenden Eigenschaften bzw. Schreib- und Sprechweisen von Interesse.

Unmittelbar aus der Definitionsgleichung (37) ergibt sich, dass
- ${\mathbb{E}\,}\bigl({\mathbb{E}\,}(X\mid\mathcal{G})\bigr)={\mathbb{E}\,}X$ , wenn $A=\Omega$ gesetzt wird,
- ${\mathbb{E}\,}(a\mid\mathcal{G})=a$ f�r beliebige $a\in\mathbb{R}$ und $\mathcal{G}\subset\mathcal{F}$ ,
- ${\mathbb{E}\,}(Y\mid\mathcal{G})=Y$ f�r jede $(\mathcal{G},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ -messbare Zufallsvariable .
Seien beliebige Zufallsvariablen �ber mit ,
- und sei $\mathcal{G}=Y^{-1}(\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ die Teil- $\sigma$ -Algebra von $\mathcal{F}$ , die durch die Urbilder von erzeugt wird.
- Dann hei�t ${\mathbb{E}\,}(X\mid\mathcal{G})$ die bedingte Erwartung von bez�glich , wobei auch die Schreibweise ${\mathbb{E}\,}(X\mid Y)$ benutzt wird.
Wenn es eine Borel-messbare Funktion $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ gibt, so dass sich die bedingte Erwartung ${\mathbb{E}\,}(X\mid Y)$ in der Form ${\mathbb{E}\,}(X\mid Y)=g(Y)$ darstellen l�sst, dann spricht man von regul�rer bedingter Erwartung.

Beispiele

Absolutstetige Zufallsvektoren
- Sei $(X,Y):\Omega\to\mathbb{R}^2$ ein beliebiger absolutstetiger Zufallsvektor mit der gemeinsamen Dichte $f_{X,Y}:\mathbb{R}^2\to[0,\infty]$ und der Randdichte $f_Y:\mathbb{R}\to[0,\infty]$ von , wobei $f_Y(y)=\int_\mathbb{R} f_{X,Y}(x,y)\,{\rm d}x$ .
- Die Funktion $g:\mathbb{R}\to[0,\infty)$ mit $g(y)=\int_\mathbb{R}\vert x\vert f_{X,Y}(x,y)\,{\rm d}x$ sei beschr�nkt.
- Dann ist eine Version der bedingten Erwartung ${\mathbb{E}\,}(X\mid Y)$ gegeben durch
  
  $\displaystyle {\mathbb{E}\,}(X\mid Y)(\omega)=\left\{\begin{array}{ll}\displays... ...Y(Y(\omega))>0$,}\\ 0\,, & \mbox{falls $f_Y(Y(\omega))=0$.} \end{array}\right.$ (38)
Funktionale unabh�ngiger Zufallsvariablen
- Seien $X,Y:\Omega\to\mathbb{R}$ unabh�ngige Zufallsvariablen, und sei $g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ eine Borel-messbare Abbildung, so dass die Funktion $g^\prime:\mathbb{R}\to[0,\infty)$ mit $g^\prime(y)={\mathbb{E}\,}\vert g(X,y)\vert$ beschr�nkt ist.
- Dann ist eine Version der bedingten Erwartung ${\mathbb{E}\,}(g(X,Y)\mid Y)$ gegeben durch
  
  $\displaystyle {\mathbb{E}\,}(g(X,Y)\mid Y)=g^{\prime\prime}(Y)\,,$ (39)
  
  wobei die Abbildung $g^{\prime\prime}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ gegeben ist durch $g^{\prime\prime}(y)={\mathbb{E}\,}g(X,y)$ .
Funktionale unabh�ngiger stochastischer Prozesse
- Seien und unabh�ngige stochastische Prozesse, d.h.,
  - $\{X_t\}$ und $\{Y_t\}$ seien unabh�ngige Familien von $(\mathcal{F},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ -messbaren Abbildungen, und
  - $\mathcal{G}=\sigma\bigl(\bigcup_{t\ge 0} Y_t^{-1}(\mathcal{B}(\mathbb{R}))\bigr)$ sei die durch den Prozess $\{Y_t\}$ erzeugte Teil- $\sigma$ -Algebra von $\mathcal{F}$ .
  - Sei $g:(\mathbb{R}^\infty)^2\to\mathbb{R}$ eine Borel-messbare Abbildung, so dass die Funktion $g^\prime:\mathbb{R}^\infty\to[0,\infty)$ mit $g^\prime(y)={\mathbb{E}\,}\vert g(\{X_t\},y)\vert$ beschr�nkt ist.
- F�r $X=g(\{X_t\},\{Y_t\})$ gilt dann ${\mathbb{E}\,}\vert X\vert<\infty$ , und die bedingte Erwartung ${\mathbb{E}\,}(X\mid\mathcal{G})$ wird mit dem Symbol ${\mathbb{E}\,}(X\mid \{Y_t\})$ bezeichnet.
- Au�erdem ist eine Version der bedingten Erwartung ${\mathbb{E}\,}(X\mid \{Y_t\})$ gegeben durch
  
  $\displaystyle {\mathbb{E}\,}(X\mid \{Y_t\})=g^{\prime\prime}(\{Y_t\})\,,$ (40)
  
  wobei die Abbildung $g^{\prime\prime}:\mathbb{R}^\infty\to\mathbb{R}$ gegeben ist durch $g^{\prime\prime}(y)={\mathbb{E}\,}g(\{X_t\},y)$ .

Schlie�lich erw�hnen wir noch kurz den Begriff bedingter Wahrscheinlichkeiten bez�glich $\sigma$ -Algebren.

Definition

Sei $A\in\mathcal{F}$ ein beliebiges Ereignis, und sei $\mathcal{G}\subset\mathcal{F}$ eine beliebige Teil- $\sigma$ -Algebra von $\mathcal{F}$ .
Dann ist die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(A\mid\mathcal{G})$ von bez�glich $\mathcal{G}$ gegeben durch

$\displaystyle P(A\mid\mathcal{G})={\mathbb{E}\,}({1\hspace{-1mm}{\rm I}}(A)\mid\mathcal{G})\,,$
d.h., die Definition bedingter Wahrscheinlichkeiten bez�glich $\sigma$ -Algebren wird auf den in (37) definierten Begriff der bedingten Erwartung zur�ckgef�hrt.

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Ursa Pantle 2005-07-13