Grundbegriffe

Stochastische Prozesse sind Familien $\{X_t,\, t\in I\}$ von Zufallsvariablen $X_t:\Omega\to E$, die über einunddemselben Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\mathcal{F},P)$ definiert sind, wobei $(\Omega,\mathcal{F},P)$ ein beliebiger Wahrscheinlichkeitsraum sein kann, der oft nicht näher spezifiziert wird.

Die Indexmenge $I$ kann eine beliebige Menge sein. Der Bildraum $E$ der Zufallsvariablen $X_t$ kann ebenfalls eine beliebige Menge sein, die lediglich mit einer $\sigma$-Algebra $\mathcal{B}(E)$ von Teilmengen von $E$ versehen ist, d.h., im allgemeinen ist $(E,\mathcal{B}(E))$ ein beliebiger Messraum, der sogenannte Zustandsraum des stochastischen Prozesses $\{X_t\}$.

Man sagt dann, dass $\{X_t\}$ ein stochastischer Prozess in $I$ mit Werten in $(E,\mathcal{B}(E))$ ist. Dabei unterscheidet man verschiedene Arten von Indexmengen $I$.

• Falls $I$ eine abzählbare Menge ist, zum Beispiel $I=\{0,1,2,\ldots\}$, dann wird $\{X_t\}$ eine zufällige Folge bzw. ein stochastischer Prozess mit diskreter Zeit genannt.
• Typische Beispiele von (überabzählbaren) Indexmengen $I\subset\mathbb{R}$ für stochastische Prozesse mit kontinuierlicher Zeit sind $I=(a,b)$ (beschränktes Interval), $I=[0,\infty)$ (nichtnegative Halbachse) bzw. $I=\mathbb{R}$ (reelle Achse).
• Falls $I\subset\mathbb{R}^d$ eine Teilmenge des $d$-dimensionalen euklidischen Raumes ist, wobei $d\ge 2$, dann wird $\{X_t\}$ ein zufälliges Feld genannt.
• Falls $I\subset \mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ eine Familie von Teilmengen des $\mathbb{R}^d$ ist, dann sagt man, dass $\{X_t\}$ ein mengen-indizierter Prozess ist. Wenn $I\subset \mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ eine $\sigma$-Algebra ist, $\{X_t\}$ nur nichtnegative Werte annimmt und $\sigma$-additiv ist, dann wird $\{X_t\}$ ein zufälliges Maß genannt.

Wenn $I\subset\mathbb{R}$ gilt, dann wird für jedes $\omega\in\Omega$ die Funktion $\{X_t(\omega),\,t\in I\}$ eine Trajektorie bzw. ein Pfad des stochastischen Prozesses $\{X_t\}$ genannt.

Im ersten Teil der Vorlesung werden wir vorwiegend stochastische Prozesse mit $I\subset[0,\infty)$ und $E\subset\mathbb{R}$ betrachten.