Endlich-dimensionale Verteilungen; Existenzsatz von Kolmogorow

Sei $\{X_t,\, t\in I\}$ ein stochastischer Prozess mit $I=[0,\infty)$ und $E=\mathbb{R}$.

Definition

$\;$ Für jedes $n=1,2,\ldots$ und für jedes $n$-Tupel $t_1,\ldots,t_n\ge 0$ von Indizes wird die Mengenfunktion $P_{t_1,\ldots,t_n}:\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\to[0,1]$ mit

$$P_{t_1,\ldots,t_n}(B_1\times\ldots\times B_n)=P(X_{t_1}\in B_1,\ldots,X_{t_n}\in B_n)\,,\qquad B_1,\ldots,B_n\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$$ (1)

endlich-dimensionale Verteilung von $\{X_t\}$ genannt.

Beachte

$\;$ Es ist klar, dass die endlich-dimensionalen Verteilungen von stochastischen Prozessen die folgenden Konsistenzeigenschaften besitzen.

• Sei $n=1,2,\ldots$ eine beliebige natürliche Zahl, und sei $\pi$ eine beliebige Permutation von $(1,\ldots,n)$.
• Dann gilt

  $$P_{t_1,\ldots,t_n}(B_1\times\ldots\times B_n)=P_{t_{\pi(1)},\ldots,t_{\pi(n)}}(B_{\pi(1)}\times\ldots\times B_{\pi(n)})$$ (2)

  
  
  und

  $$P_{t_1,\ldots,t_n,t_{n+1}}(B_1\times\ldots\times B_n\times\mathbb{R}) = P_{t_1,\ldots,t_n}(B_1\times\ldots\times B_n)$$ (3)

  
  
  für jedes $(n+1)$-Tupel $t_1,\ldots,t_{n+1}\ge 0$ und für beliebige Borel-Mengen $B_1,\ldots,B_n\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$.

Wir nehmen nun umgekehrt an, dass $\{P_{t_1,\ldots,t_n},\,t_1,\ldots,t_n\ge 0,\,n=1,2,\ldots\}$ eine beliebige Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen ist, die den Bedingungen (2) und (3) genügen.

Der folgende (Existenz-) Satz von Kolmogorow ist eine wichtige Fundamentalaussage in der Theorie stochastischer Prozesse.

Theorem 1.1   $\;$ Für jede Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen $\{P_{t_1,\ldots,t_n},\,t_1,\ldots,t_n\ge 0,\,n=1,2,\ldots\}$, die den Bedingungen $(\ref{kon.eig.ein})$ und $(\ref{kon.eig.zwe})$ genügen, gibt es einen Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\mathcal{F},P)$ und einen stochastischen Prozess $\{X_t,\,t\ge 0\}$ über diesem Wahrscheinlichkeitsraum, so dass $\{P_{t_1,\ldots,t_n}\}$ die endlich-dimensionalen Verteilungen von $\{X_t,\,t\ge 0\}$ sind.

Der Beweis von Theorem 1.1 beruht auf Standard-Techniken der Maßtheorie. Wir erwähnen hier nur die Grundidee des Kolmogorowschen Konstruktionsprinzips. Ein detaillierter Beweis kann zum Beispiel in Kallenberg (2001), S. 115-116 nachgelesen werden.

Dabei wird bei der Wahl eines geeigneten Wahrscheinlichkeitsraumes $(\Omega,\mathcal{F},P)$ bzw. des zugehörigen stochastischen Prozesses $\{X_t\}$ wie folgt vorgegangen.

• Sei $\Omega=E^I$, d.h., in unserem Fall ist $\Omega=\mathbb{R}^{[0,\infty)}$ die Familie aller Abbildungen $\omega:[0,\infty)\to\mathbb{R}$ von $[0,\infty)$ in die Menge der reellen Zahlen $\mathbb{R}$.
• $\mathcal{F}$ sei die kleinste $\sigma$-Algebra von Teilmengen von $\Omega$, die sämtliche Zylinder-Mengen der Form

  $$A_{t_1,\ldots,t_n}^B=\{\omega\in\Omega:\,(\omega(t_1),\ldots,\omega(t_n))\in B\}$$ (4)

  
  
  enthält für jedes beliebige $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$.
• Mit Techniken der Maßtheorie kann man zeigen, dass es ein (eindeutig bestimmtes) Wahrscheinlichkeitsmaß $P:\,\mathcal{F}\to[0,1]$ gibt, für das $P(A_{t_1,\ldots,t_n}^B)=P_{t_1,\ldots,t_n}(B)$ für beliebige $n=1,2,\ldots$ und $t_1,\ldots,t_n\ge 0$ sowie $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ gilt.
• Dann stimmen die endlich-dimensionalen Verteilungen des ,,Koordinaten-Prozesses'' $\{X_t,\,t\ge 0\}$, der gegeben ist durch $X_t(\omega)=\omega(t)$ für beliebige $t\ge 0$ und $\omega\in\Omega$, mit den Wahrscheinlichkeitsmaßen $\{P_{t_1,\ldots,t_n}\}$ überein.

Beachte

$\;$

• Der Existenzsatz von Kolmogorow gilt auch für beliebige Indexmengen $I$ und für beliebige Zustandsräume $(E,\mathcal{B}(E))$, d.h., für Familien von Wahrscheinlichkeitsmaßen $\{P_{t_1,\ldots,t_n},\,t_1,\ldots,t_n\in I\}$ über $(E^n,\mathcal{B}(E^n))$ mit $n=1,2,\ldots$, die den Bedingungen $(\ref{kon.eig.ein})$ und $(\ref{kon.eig.zwe})$ genügen.
• Der stochastische Koordinaten-Prozess $\{X_t,\, t\in I\}$ wird dann auf völlig analoge Weise über dem Wahrscheinlichkeitsraum $(E^I,\mathcal{F}(E^I),P)$ konstruiert, wobei $\mathcal{F}(E^I)$ die kleinste $\sigma$-Algebra ist, die alle Zylinger-Mengen von $E^I$ enthält.