Normalverteilte Störgrößen

• Zusätzlich zu den Modellannahmen, die am Anfang von Kapitel 3 formuliert worden sind, setzen wir in diesem Abschnitt noch voraus, daß $n>m$ und daß die zufälligen Störgrößen $\varepsilon _1,\ldots,\varepsilon _n:\Omega\to\mathbb{R}$ unabhängig und normalverteilt sind, d.h. $\varepsilon _i\sim\,{\rm N} (0,\sigma^2)$ für jedes $i=1,\ldots,n$.
• Gemäß Theorem 3.9 ist dann die Verteilung des Vektors ${\mathbf{Y}}={\mathbf{X}}{\boldsymbol{\beta}}+{\boldsymbol{\varepsilon }}$ der Zielvariablen bzw. des MKQ-Schätzers $\widehat{\boldsymbol{\beta}}=({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})^{-1}{\mathbf{X}}^\top{\mathbf{Y}}$ gegeben durch

  $${\mathbf{Y}}\sim\,{\rm N}({\mathbf{X}}{\boldsymbol{\beta}},\,\sigma^2{\mathbf{I}})$$ (51)

  
  
  und

  $$\widehat{\boldsymbol{\beta}}\sim\,{\rm N}\bigl({\boldsymbol{\beta}},\,\sigma^2({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})^{-1}\bigr)\,.$$ (52)