Tests für die Regressionskoeffizienten; Quadratsummenzerlegung

• Mit Hilfe der Verteilungs- und Unabhängigkeitseigenschaften von linearen bzw. quadratischen Formen normalverteilter Zufallsvektoren, die in den Abschnitten 3.3.2 - 3.3.4 hergeleitet wurden, kann man t-Tests bzw. F-Tests zur Verifizierung von Hypothesen über die Regressionskoeffizienten $\beta_1,\ldots,\beta_m$ konstruieren.
• Zur Erinnerung: Es gilt

  $$\widehat{\boldsymbol{\beta}}=({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})^{-1}... ...\bigl({\boldsymbol{\beta}},\,\sigma^2({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})^{-1}\bigr)$$ (77)

  
  
  bzw.

  $$\frac{(n-m)S^2}{\sigma^2}=\frac{1}{\sigma^2}\; ({\mathbf{Y}}-{\ma... ...\top({\mathbf{Y}}-{\mathbf{X}}\widehat{\boldsymbol{\beta}}) \sim\chi^2_{n-m}\,,$$ (78)

  
  
  wobei die Zufallsvariablen $\widehat{\boldsymbol{\beta}}$ und $S^2$ unabhängig sind.

Zunächst testen wir Hypothesen über einzelne Komponenten des Parametervektors ${\boldsymbol{\beta}}=(\beta_1,\ldots,\beta_m)$.

• Sei $j\in\{1,\ldots,m\}$ eine beliebige, jedoch fest vorgegebene natürliche Zahl.
• Um einen hypothetischen Wert $\beta_{0,j}$ der $j$-ten Komponente $\beta_j$ des Parametervektors ${\boldsymbol{\beta}}=(\beta_1,\ldots,\beta_m)$ zu testen, betrachten wir die Testgröße

  $$T_j=\frac{ \widehat\beta_j-\beta_j }{S\sqrt{x^{jj}}}\;,$$ (79)

  
  
  wobei $x^{ij}$ die $(i,j)$-te Eintragung der (inversen) Matrix $({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})^{-1}$ bezeichnet.
• Aus (77) - (78) und aus der Unabhängigkeit von $\widehat{\boldsymbol{\beta}}$ und $S^2$ ergibt sich, daß $T_j\sim$ t$_{n-m}$.
• Beim Test der Hypothese $H_0:\beta_j=\beta_{0,j}$ zum Niveau $1-\gamma\in(0,1)$ (gegen die Alternative $H_1:\beta_j\not=\beta_{0,j}$) wird nun die Nullhypothese $H_0$ abgelehnt, falls

  $$\frac{\bigl\vert\widehat\beta_j-\beta_{0,j}\bigr\vert}{S\sqrt{x^{jj}}}>\, {\rm t}_{n-m,1-(1-\gamma)/2}\,,$$ (80)

  
  
  wobei ${\rm t}_{n-m,1-(1-\gamma)/2}$ das $(1-(1-\gamma)/2)$-Quantil der t-Verteilung mit $n-m$ Freiheitsgraden bezeichnet.

Beachte

 

• Für $j\in\{2,\ldots,m\}$ ist der Test der Hypothese $H_0:\beta_j=0$ (gegen die Alternative $H_1:\beta_j\not=0$) von besonderem Interesse, weil damit verifiziert werden kann, inwieweit die Zielvariablen $Y_1,\ldots,Y_n$ überhaupt von dem $(j-1)$-ten Einflußfaktor abhängen.
• Bei diesem Test auf Signifikanz des $(j-1)$-ten Einflußfaktors wird die Nullhypothese $H_0$ abgelehnt, falls

  $$\frac{\bigl\vert\widehat\beta_j\bigr\vert}{S\sqrt{x^{jj}}}>\, {\rm t}_{n-m,1-(1-\gamma)/2}\,.$$ (81)

  
  

Auf ähnliche Weise ergibt sich der folgende (simultane) F-Test, der auch Test auf Gesamtzusammenhang bzw. Test auf Signifikanz des Modells genannt wird.

• Dabei wird die Hypothese $H_0:\beta_1=\ldots=\beta_m=0$ (gegen die Alternative $H_1:\beta_j\not=0$ für ein $j\in\{1,\ldots,m\}$) getestet.
• Die Wahl der Testgröße ist durch die folgende Quadratsummenzerlegung motiviert; vgl. auch Abschnitt 2.2.4.

Theorem 3.17   $\;$ Mit der Schreibweise $\widehat{\mathbf{Y}}={\mathbf{X}}\widehat{\boldsymbol{\beta}}$ gilt

$${\mathbf{Y}}^\top{\mathbf{Y}}= \widehat{\mathbf{Y}}^\top \widehat... ...\widehat{\mathbf{Y}}\bigr)^\top\bigl({\mathbf{Y}}-\widehat{\mathbf{Y}}\bigr)\,.$$ (82)

Beweis

 

• Es gilt
  

  $${\mathbf{Y}}^\top{\mathbf{Y}} = \sum\limits_{i=1}^n Y_i^2$$

  $$= \sum\limits_{i=1}^n \Bigl((Y_i-\widehat Y_i)+\widehat Y_i\Bigr)^2$$

  $$= \sum\limits_{i=1}^n \widehat Y_i^2+ \sum\limits_{i=1}^n (Y_i-\widehat Y_i)^2+ 2\underbrace{\sum\limits_{i=1}^n (Y_i-\widehat Y_i)\widehat Y_i}_{=0}$$

  $$= \sum\limits_{i=1}^n \widehat Y_i^2+ \sum\limits_{i=1}^n (Y_i-\widehat Y_i)^2$$

  $$= \widehat{\mathbf{Y}}^\top \widehat{\mathbf{Y}}+ \bigl({\mathbf{Y}}-\widehat{\mathbf{Y}}\bigr)^\top\bigl({\mathbf{Y}}-\widehat{\mathbf{Y}}\bigr)\,.$$

  
  

• Dabei ergibt sich die vorletzte Gleichheit aus der folgenden Überlegung: Wegen (77) gilt
  $$({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})\widehat{\boldsymbol{\beta}}={\mathbf{X}}^\top{\mathbf{Y}}$$
  und somit
  

  $$\sum\limits_{i=1}^n (Y_i-\widehat Y_i)\widehat Y_i = ({\mathbf{Y}}-\widehat{\mathbf{Y}})^\top\widehat{\mathbf{Y}}$$

  $$= ({\mathbf{Y}}^\top-\widehat{\boldsymbol{\beta}}^\top{\mathbf{X}}^\top) {\mathbf{X}}\widehat{\boldsymbol{\beta}}$$

  $$= {\mathbf{Y}}^\top{\mathbf{X}}\widehat{\boldsymbol{\beta}}-\wideha... ...^\top{\mathbf{X}}\widehat{\boldsymbol{\beta}}}_{={\mathbf{X}}^\top{\mathbf{Y}}}$$

  $$= {\mathbf{Y}}^\top{\mathbf{X}}\widehat{\boldsymbol{\beta}}-\widehat{\boldsymbol{\beta}}^\top{\mathbf{X}}^\top{\mathbf{Y}}=0\,.$$

  
  
  
   
    $\Box$
  
  
  

Beachte

 

• Der erste Summand $\widehat{\mathbf{Y}}^\top \widehat{\mathbf{Y}}$ auf der rechten Seite von (82) ist die quadrierte Länge des Vektors $\widehat{\mathbf{Y}}={\mathbf{X}}\widehat{\boldsymbol{\beta}}$ der durch die Regression geschätzten Zielwerte $\widehat Y_1,\ldots,\widehat Y_n$.
• Die zweite Komponente der Quadratsummenzerlegung (82), d.h. die Summe der Abweichungsquadrate $\bigl({\mathbf{Y}}-\widehat{\mathbf{Y}}\bigr)^\top\bigl({\mathbf{Y}}-\widehat{\mathbf{Y}}\bigr)$ wird manchmal auch Reststreuung genannt.
• Aus unserer generellen Modellannahme, daß die Designmatrix ${\mathbf{X}}$ vollen Rang hat, d.h. ${\,{\rm rg}}({\mathbf{X}})=m$, ergibt sich die Ungleichung
  $$({\mathbf{X}}{\boldsymbol{\beta}})^\top({\mathbf{X}}{\boldsymbol{... ...ldsymbol{\beta}}^\top({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}}){\boldsymbol{\beta}}>0\,,$$
  falls die Hypothese $H_0:\beta_1=\ldots=\beta_m=0$ falsch ist.
• Deshalb ist es naheliegend, die Hypothese $H_0$ abzulehnen, falls die quadrierte Länge $\widehat{\mathbf{Y}}^\top \widehat{\mathbf{Y}}$ des Zufallsvektors $\widehat{\mathbf{Y}}={\mathbf{X}}\widehat{\boldsymbol{\beta}}$ hinreichend groß ist.
• Dabei wird bei der Entscheidung, was ,,hinreichend groß'' ist, auch die Variabilität der Daten berücksichtigt, d.h., es wird der Quotient von $\widehat{\mathbf{Y}}^\top \widehat{\mathbf{Y}}$ und der Summe der Abweichungsquadrate $\bigl({\mathbf{Y}}-\widehat{\mathbf{Y}}\bigr)^\top\bigl({\mathbf{Y}}-\widehat{\mathbf{Y}}\bigr)$ betrachtet.
• Genauer gesagt: Wir betrachten die folgende Testgröße

  $$T_{\rm mod} =\frac{\widehat{\boldsymbol{\beta}}^\top({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})\widehat{\boldsymbol{\beta}}}{mS^2}\;.$$ (83)

  
  

• Um einen auf $T_{\rm mod}$ basierenden Test der Hypothese $H_0:\beta_1=\ldots=\beta_m=0$ konstruieren zu können, muß zunächst die Verteilung der Testgröße $T_{\rm mod}$ bestimmt werden.

Theorem 3.18   $\;$ Unter $H_0:\beta_1=\ldots=\beta_m=0$ gilt $T_{\rm mod}\sim\,{\rm F}_{m,n-m}$, d.h., die in $(\ref{def.tes.mul})$ gegebene Testgröße $T_{\rm mod}$ ist F-verteilt mit $(m,n-m)$ Freiheitsgraden.

Beweis

 

• Unter $H_0:\beta_1=\ldots=\beta_m=0$ gilt $\widehat{\boldsymbol{\beta}}\sim\,{\rm N}({\mathbf{o}},\,{\mathbf{K}})$ mit ${\mathbf{K}}=\sigma^2({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})^{-1}$.
• Hieraus folgt, daß
  $$(\sigma^{-1}{\mathbf{X}})^\top(\sigma^{-1}{\mathbf{X}}){\mathbf{K... ...^{-1}{\mathbf{X}})\sigma^2({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})^{-1} = {\mathbf{I}}$$
  d.h. insbesondere, daß die Matrix $(\sigma^{-1}{\mathbf{X}})^\top(\sigma^{-1}{\mathbf{X}}){\mathbf{K}}$ idempotent ist.
• Aus Theorem 3.15 ergibt sich nun, daß die quadratische Form $\sigma^{-2}\widehat{\boldsymbol{\beta}}^\top({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})\widehat{\boldsymbol{\beta}}$ eine (zentrale) $\chi ^2$-Verteilung mit $m$ Freiheitsgraden hat.
• Außerdem hatten wir in Korollar 3.6 gezeigt, daß die Zufallsvariable $(n-m)S^2/\sigma^2$ eine (zentrale) $\chi ^2$-Verteilung mit $n-m$ Freiheitsgraden hat.
• In Korollar 3.7 hatten wir gezeigt, daß $\widehat{\boldsymbol{\beta}}$ und $S^2$ unabhängig sind.
• Aus dem Transformationssatz für unabhängige Zufallsvektoren (vgl. Theorem I.1.8) folgt somit, daß auch die Zufallsvariablen $\sigma^{-2}\widehat{\boldsymbol{\beta}}^\top({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})\widehat{\boldsymbol{\beta}}$ und $(n-m)S^2/\sigma^2$ unabhängig sind.
• Die Behauptung ergibt sich nun unmittelbar aus der Definition der F-Verteilung.
  
  $\Box$

Beachte

 

• Beim Test der Hypothese $H_0:\beta_1=\ldots=\beta_m=0$ zum Niveau $1-\gamma\in(0,1)$ (gegen die Alternative $H_1:\beta_j\not=0$ für ein $j\in\{1,\ldots,m\}$) wird die Nullhypothese $H_0$ abgelehnt, falls

  $$T_{\rm mod} >\, {\rm F}_{m,n-m,\gamma}\,,$$ (84)

  
  
  wobei ${\rm F}_{m,n-m,1-(1-\gamma)}$ das $\gamma$-Quantil der F-Verteilung mit $(m,n-m)$ Freiheitsgraden bezeichnet.
• Auf ähnliche Weise läßt sich ein F-Test zur Verifizierung der Hypothese $H_0: {\boldsymbol{\beta}}={\boldsymbol{\beta}}_0$ zum Niveau $1-\gamma\in(0,1)$ (gegen die Alternative $H_0: {\boldsymbol{\beta}}\not={\boldsymbol{\beta}}_0$) für einen beliebigen hypothetischen Parametervektor ${\boldsymbol{\beta}}_0=(\beta_{01},\ldots,\beta_{0m})$ konstruieren.
• So wie im Beweis von Theorem 3.18 vorgehend kann man zeigen, daß unter $H_0: {\boldsymbol{\beta}}={\boldsymbol{\beta}}_0$ die Testgröße

  $$T_{{\boldsymbol{\beta}}_0} =\frac{(\widehat{\boldsymbol{\beta}}-{... ...^\top{\mathbf{X}}) (\widehat{\boldsymbol{\beta}}-{\boldsymbol{\beta}}_0)}{mS^2}$$ (85)

  
  
  F-verteilt ist mit $(m,n-m)$ Freiheitsgraden.
• Die Nullhypothese $H_0: {\boldsymbol{\beta}}={\boldsymbol{\beta}}_0$ wird somit abgelehnt, falls

  $$T_{{\boldsymbol{\beta}}_0} >\, {\rm F}_{m,n-m,\gamma}\,.$$ (86)

  
  

Die bisher in diesem Abschnitt betrachteten Tests sind Spezialfälle des folgenden universellen Tests. Dabei wird lediglich ein Teil der Komponenten des Parametervektors ${\boldsymbol {\beta }}$ getestet.

• Seien $\ell\in\{0,\ldots,m-1\}$ und $\beta_{0,\ell+1},\ldots,\beta_{0m}\in\mathbb{R}$ beliebige, jedoch fest vorgegebene Zahlen.
• Es soll nun die Hypothese

  $$H_0:\beta_{\ell+1}=\beta_{0,\ell+1},\ldots,\beta_m=\beta_{0m} \qquad H_1:\beta_j\not=\beta_{0j}\; \mbox{für ein $j\in\{\ell+1,\ldots,m\}$}$$ (87)

  
  
  getestet werden.
• Hierfür betrachten wir die folgende $(m-\ell)\times(m-\ell)$-dimensionale Teilmatrix ${\mathbf{K}}_{\rm uni}$ der Matrix $({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})^{-1}=(x^{ij})$ mit
  $${\mathbf{K}}_{\rm uni}=\left(\begin{array}{ccc} x^{\ell+1,\ell+1... ... \vdots & &\vdots\\ x^{m,\ell+1} & \ldots & x^{mm} \end{array}\right)\,.$$

• Außerdem betrachten wir den Teilvektor $\widehat{\boldsymbol{\beta}}_{\rm uni} =(\widehat\beta_{\ell+1},\ldots,\widehat\beta_m)$ des Zufallsvektors $\widehat{\boldsymbol{\beta}}$.
• Ein Ansatz zur Lösung des Testproblems (87) ist durch die Testgröße

  $$T_{\rm uni}=\frac{\bigl(\widehat{\boldsymbol{\beta}}_{\rm uni}-{\... ...boldsymbol{\beta}}_{\rm uni}-{\boldsymbol{\beta}}_{\rm uni}\bigr)}{(m-\ell)S^2}$$ (88)

  
  
  gegeben, wobei ${\boldsymbol{\beta}}_{\rm uni}=(\beta_{\ell+1},\ldots,\beta_m)$.
• Man kann nämlich zeigen, daß unter der in (87) formulierten Nullhypothese $H_0$

  $$T_{\rm uni}\sim\, {\rm F}_{m-\ell,n-m}$$ (89)

  
  
  gilt (vgl. Übungsaufgabe 9.2 bzw. das folgende Theorem 3.19). Die Hypothese
  $$H_0:\beta_{\ell+1}=\beta_{0,\ell+1},\ldots,\beta_m=\beta_{0m}$$
  wird somit abgelehnt, falls

  $$T_{\rm uni} >\, {\rm F}_{m-\ell,n-m,\gamma}\,.$$ (90)

  
  

Wir diskutieren nun noch einen Test für Linearformen des Parametervektors ${\boldsymbol{\beta}}=(\beta_1,\ldots,\beta_m)$, der eine weitere Verallgemeinerung der bisher in diesem Abschnitt betrachteten Tests ist.

• Sei $r\in\{1,\ldots,m\}$, sei ${\mathbf{H}}$ eine $r\times m$ Matrix mit vollem Rang ${\,{\rm rg}}({\mathbf{H}})=r$, und sei ${\mathbf{c}}\in\mathbb{R}^r$.
• Getestet werden soll die Hypothese

  $$H_0: {\mathbf{H}}{\boldsymbol{\beta}}={\mathbf{c}} \qquad H_1: {\mathbf{H}}{\boldsymbol{\beta}}\not={\mathbf{c}}\,.$$ (91)

  
  

• Dabei wird die Testgröße $T_{{\mathbf{H}}}$ betrachtet mit

  $$T_{{\mathbf{H}}}=\frac{\bigl({\mathbf{H}}\widehat{\boldsymbol{\be... ...} \bigl({\mathbf{H}}\widehat{\boldsymbol{\beta}}-{\mathbf{c}}\bigr) }{r S^2}\;,$$ (92)

  
  
  deren Verteilung sich mit Hilfe der folgenden Invarianzeigenschaften positiv definiter Matrizen bestimmen läßt.

Lemma 3.15    

• Seien $m,r\in\mathbb{N}$ beliebige natürliche Zahlen mit $1\le r\le m$. Sei ${\mathbf{A}}$ eine symmetrische und positiv definite $m\times m$ Matrix, und sei ${\mathbf{B}}$ eine $r\times m$ Matrix mit vollem Rang ${\,{\rm rg}}({\mathbf{B}})=r$.
• Dann sind auch die Matrizen ${\mathbf{B}}{\mathbf{A}}{\mathbf{B}}^\top$ und ${\mathbf{A}}^{-1}$ positiv definit.

Beweis

 

• Wegen des vollen Ranges von ${\mathbf{B}}^\top$ gilt ${\mathbf{B}}^\top{\mathbf{x}}\not={\mathbf{o}}$ für jedes ${\mathbf{x}}\in\mathbb{R}^r$ mit ${\mathbf{x}}\not={\mathbf{o}}$.
• Weil ${\mathbf{A}}$ posítiv definit ist, gilt damit auch
  $${\mathbf{x}}^\top\bigl({\mathbf{B}}{\mathbf{A}}{\mathbf{B}}^\top\... ...athbf{B}}^\top{\mathbf{x}})^\top{\mathbf{A}}({\mathbf{B}}^\top{\mathbf{x}})>0$$
  für jedes ${\mathbf{x}}\in\mathbb{R}^r$ mit ${\mathbf{x}}\not={\mathbf{o}}$, d.h., ${\mathbf{B}}{\mathbf{A}}{\mathbf{B}}^\top$ ist positiv definit.
• Für ${\mathbf{B}}={\mathbf{A}}^{-1}$ ergibt sich hieraus insbesondere, daß
  $${\mathbf{A}}^{-1}={\mathbf{A}}^{-1}\bigr({\mathbf{A}}{\mathbf{A}}^{-1}\bigr) ={\mathbf{A}}^{-1}{\mathbf{A}}\bigl({\mathbf{A}}^{-1}\bigr)^\top$$
  positiv definit ist.
  
  $\Box$

Theorem 3.19   $\;$ Unter $H_0: {\mathbf{H}}{\boldsymbol{\beta}}={\mathbf{c}}$ gilt $T_{{\mathbf{H}}}\sim\, {\rm F}_{r,n-m}$, d.h., die in $(\ref{tes.lin.tes})$ gegebene Testgröße $T_{{\mathbf{H}}}$ ist F-verteilt mit $(r,n-m)$ Freiheitsgraden.

Beweis

 

• Weil die Designmatrix ${\mathbf{X}}$ vollen Rang hat, ist die symmetrische Matrix ${\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}}$ positiv definit.
• Gemäß Lemma 3.15 sind damit auch die Matrizen $({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})^{-1}$ bzw. ${\mathbf{H}}({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})^{-1}{\mathbf{H}}^\top$ positiv definit, d.h. insbesondere, daß die Matrix ${\mathbf{H}}({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})^{-1}{\mathbf{H}}^\top$ vollen Rang besitzt.
• Aus Theorem 3.1 ergibt sich nun, daß die Matrix ${\mathbf{H}}({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})^{-1}{\mathbf{H}}^\top$ invertierbar ist.
• Außerdem ist die $r\times r$ Matrix ${\mathbf{A}} =\bigl({\mathbf{H}}({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})^{-1}{\mathbf{H}}^\top\bigr)^{-1}$ symmetrisch, denn es gilt
  

  $${\mathbf{A}}^\top = \bigl(\bigl({\mathbf{H}}({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})^{-1}{\mat... ...{H}}({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})^{-1}{\mathbf{H}}^\top\bigr)^\top\bigr)^{-1}$$

  $$= \bigl({\mathbf{H}}\bigl(({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})^{-1}\bigr... ...igl(({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})^\top\bigr)^{-1}{\mathbf{H}}^\top\bigr)^{-1}$$

  $$= \bigl({\mathbf{H}}({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})^{-1}{\mathbf{H}}^\top\bigr)^{-1}={\mathbf{A}}\,.$$

  
  

• Die in (92) betrachtete quadratische Form
  $${\mathbf{Z}}^\top{\mathbf{A}}{\mathbf{Z}}= \bigl({\mathbf{H}}\wid... ...bigr)^{-1} \bigl({\mathbf{H}}\widehat{\boldsymbol{\beta}}-{\mathbf{c}}\bigr)$$
  ist somit wohldefiniert, wobei ${\mathbf{Z}}={\mathbf{H}}\widehat{\boldsymbol{\beta}}-{\mathbf{c}}$.
• Aus (77) und aus Theorem 3.9 ergibt sich, daß unter $H_0: {\mathbf{H}}{\boldsymbol{\beta}}={\mathbf{c}}$
  $${\mathbf{Z}}\sim\,{\rm N}\bigl({\mathbf{o}},\sigma^2{\mathbf{H}}({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})^{-1}{\mathbf{H}}^\top\bigr)\,.$$

• Weil die Matrix
  $$\bigl(\sigma^{-2}{\mathbf{A}}\bigr)\bigl(\sigma^2{\mathbf{H}}({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})^{-1} {\mathbf{H}}^\top\bigr)={\mathbf{I}}$$
  offenbar idempotent ist, ergibt sich nun aus Theorem 3.15, daß $\sigma^{-2}{\mathbf{Z}}^\top{\mathbf{A}}{\mathbf{Z}}$ eine $\chi^2_r$-verteilte Zufallsvariable ist.
• Der Rest des Beweises verläuft genauso wie der Beweis von Theorem 3.18.
  
  $\Box$

Beachte

$\;$ Die Nullhypothese $H_0: {\mathbf{H}}{\boldsymbol{\beta}}={\mathbf{c}}$ wird abgelehnt, falls

$$T_{\mathbf{H}}>\, {\rm F}_{r,n-m,\gamma}\,,$$ (93)

wobei $T_{\mathbf{H}}$ die in $(\ref{tes.lin.tes})$ gegebene Testgröße ist.