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Verteilungs- und Unabhängigkeitseigenschaften linearer und quadratischer Formen

Lemma 3.14   Sei $ {\mathbf{A}}$ eine symmetrische und nichtnegativ definite $ n\times n$ Matrix mit $ {\,{\rm rg}}({\mathbf{A}})=r\le n$. Dann gibt es eine $ n\times r$ Matrix $ {\mathbf{H}}$ mit $ {\,{\rm rg}}({\mathbf{H}})=r$, so daß $ {\mathbf{A}}={\mathbf{H}}{\mathbf{H}}^\top$.

Theorem 3.15    

Beweis
 


Mit Hilfe von Theorem 3.15 läßt sich die Verteilung des in Abschnitt 3.1.4 betrachteten (erwartungstreuen) Schätzers

$\displaystyle S^2=\frac{1}{n-m}\;({\mathbf{Y}}-{\mathbf{X}}\widehat{\boldsymbol{\beta}})^\top({\mathbf{Y}}-{\mathbf{X}}\widehat{\boldsymbol{\beta}})\,.$ (74)

der Varianz $ \sigma ^2$ der Störgrößen bestimmen.

Korollar 3.6   $ \;$ Es gilt $ (n-m)S^2/\sigma^2\sim\chi^2_{n-m}$, d.h., die Zufallsvariable $ (n-m)S^2/\sigma^2$ hat eine (zentrale) $ \chi ^2$-Verteilung mit $ n-m$ Freiheitsgraden.

Beweis
 

Beachte
 

Theorem 3.16    

Beweis
 

Korollar 3.7   $ \;$ Die Schätzer $ \widehat{\boldsymbol{\beta}}$ und $ S^2$ für $ {\boldsymbol {\beta }}$ bzw. $ \sigma ^2$ sind unabhängig.

Beweis
 


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Ursa Pantle 2003-03-10