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Konfidenzbereiche
- Bei der Konstruktion von Konfidenzbereichen gehen wir ähnlich wie
in Abschnitt 3.3.6 vor, wo der Fall betrachtet wurde,
daß die Designmatrix
vollen Rang
hat. Dabei
nehmen wir jetzt allerdings so wie in Abschnitt 4.3.3
an, daß
.
- Sei
, und
sei eine Matrix
mit vollem Rang
, deren Eintragungen bekannt seien.
- Dann ergibt sich unmittelbar aus Theorem 4.13 der
folgende Konfidenzbereich für den Vektor
zum Niveau
.
Theorem 4.15
Sämtliche Komponenten
des Vektors
seien schätzbare Funktionen von
. Dann
ist der (zufällige) Ellipsoid
|
(71) |
ein Konfidenzbereich für
zum Niveau
, wobei
und
die in
bzw.
gegebenen
Schätzer für
bzw.
sind.
Aus Theorem 4.15 ergibt sich insbesondere das
folgende Resultat.
Korollar 4.1
Für jedes
ist durch
|
(72) |
ein Konfidenzintervall
für
zum Niveau
gegeben.
- Beispiel
-
- Wir betrachten das folgende lineare Modell, vgl. N. Ravishanker
und D.K. Dey (2002) A First Course in Linear Model Theory,
Chapman & Hall/CRC, S. 235:
wobei
.
- Mit Hilfe von Korollar 4.1 soll ein
Konfidenzintervall für
zum Niveau
bestimmt werden.
- Weil
, muß zunächst geprüft werden, ob
|
(73) |
mit
eine erwartungstreu schätzbare
Funktion von
ist.
- Gemäß Kriterium 1 in Theorem 4.6 ist dies genau dann
der Fall, wenn es ein
gibt, so
daß
, d.h., wenn
- Weil dieses Gleichungssystem offenbar lösbar ist, ist somit
schätzbar.
- Außerdem gilt
und eine verallgemeinerte Inverse von
ist
gegeben durch:
- Hieraus folgt, daß
und
bzw.
- Somit ergibt sich, daß
bzw.
und
- Das gesuchte Konfidenzintervall
für
zum
Niveau
hat also die Form
wobei
.
In Verallgemeinerung der Theoreme 2.9 und
3.20 leiten wir nun ein sogenanntes Scheffé-Konfidenzband her, d.h. simultane Konfidenzintervalle für
eine ganze Klasse von schätzbaren Funktionen des Parametervektors
.
- Beweis
-
- Ähnlich wie im Beweis von Theorem 3.20 ergibt sich
aus der Ungleichung von Cauchy-Schwarz, daß
wobei sich das Maximum über sämtliche Vektoren
mit
erstreckt.
- Hieraus und aus Theorem 4.13 ergibt sich nun, daß
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Ursa Pantle
2003-03-10