Diskrete Zufallsvariablen; Wahrscheinlichkeitsfunktion

Wir unterscheiden 2 (Grund-) Typen von Zufallsvariablen: diskrete und absolutstetige Zufallsvariablen.

Definition

$\;$ Die Zufallsvariable $X$ (bzw. ihre Verteilung) heißt diskret, falls es eine abzählbare Teilmenge $C\subset \mathbb{R}$ gibt, so dass $P(X\in C) =1$.

Beachte

$\;$ Der Begriff der absolutstetigen Zufallsvariablen wird später in Abschnitt 3.2.4 eingeführt. Wir erwähnen jedoch schon jetzt ein wichtiges Unterscheidungsmerkmal:

1. diskrete Zufallsvariablen haben einen abzählbaren Wertebereich, z.B. wenn $\Omega=X^{-1}(C)$ mit $C\subset\mathbb{N,Z,Q}\subset \mathbb{R}$. Sei beispielsweise $X=$ Augensumme bei zweimaligem Würfeln $\Rightarrow X:\Omega \rightarrow \{2,3,\ldots ,12\}$
2. absolutstetige Zufallsvariablen haben einen überabzählbaren Wertebereich, z.B. $[a,b],[a,\infty ),(-\infty ,b],\mathbb{R}$
   z.B. Roulette mit drehbarem Zeiger und ,,kontinuierlicher'' Skala, wobei
   $X$ = Wert des Spiels = Winkel des Zeigers, d.h. $X:\Omega \rightarrow [0,2\pi )$

Definition

$\;$ Sei $X$ eine diskrete Zufallsvariable, d.h., es gebe eine abzählbare Menge $C=\{ x_{1},\, x_{2},\, \ldots \}$, so dass $P(X\in C) =1$. Dann heißt die Folge $p_1,p_2,\ldots$ mit $p_k=P(X=x_{k})$ Wahrscheinlichkeitsfunktion (bzw. Zähldichte) von $X$.

Beachte

 

1. Für jede Wahrscheinlichkeitsfunktion $\{p_k\}$ gilt offenbar $p_k\geq 0$ für jedes $k=1,2,\ldots$ und $\sum\limits ^{\infty }_{k=1}p_k=1$.
2. Die Verteilung einer diskreten Zufallsvariablen $X$ wird eindeutig durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion $\{ p_{k}\}$ bestimmt, denn es gilt dann für jedes $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$
   

   $$P_X(B) = P_X(B\cap C)$$

   $$= P_X\bigl(\bigcup\limits_{i:x_i\in B}\{x_i\}\bigr)$$

   $$= \sum\limits_{i:x_i\in B}P_X(\{x_i\})$$

   $$= \sum\limits_{i:x_i\in B} p_i\,.$$

   
   

3. Für jedes $x_k\in C$ heißt die Zahl $p_k=P(X=x_k)$ Einzelwahrscheinlichkeit von $X$.

Beispiele

 

1. zweimaliges Würfeln
   • Sei $X=$ Summe der Augenzahlen beim zweimaligen Würfeln.
   • Dann gilt $P(X\in C) =1$ mit $C=\{2,\, 3,\, \ldots ,\, 12\}$, d.h. $x_{k}=k+1$.
   • Die Wahrscheinlichkeitsfunktion von $X$ ist gegeben durch:
     

     
     
     

     $x_k$	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
     $p_k$	$\frac{1}{36}$	$\frac{2}{36}$	$\frac{3}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{6}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{3}{36}$	$\frac{2}{36}$	$\frac{1}{36}$

     
     
     
2. Bernoulli-Schema
   • Einmaliger Münzwurf: $\Omega _{1}=\{0,\, 1\}$, ,,0'' = Wappen, ,,1'' = Zahl
   • $n$-maliger Münzwurf: Für $i=1,\ldots,n$ setzen wir $\Omega _{i}=\{0,\, 1\}$, wobei $P _{i}(\{ \omega _{i}\}) =\frac{1}{2}$ im Fall einer fairen Münze bzw. allgemein $P_{i}(\{1\})=a_i$ und $P_i(\{0\})=1-a_i$.
   • Bei identischen Versuchsbedingungen nehmen wir an, dass $a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{n}=p,\, p\in [0,\, 1]$.
   • Unabhängige Versuche modellieren wir durch den Ansatz $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ mit
     $$\Omega =\Omega _{1}\times \ldots \times \Omega _{n} =\left\{\omeg... ...),\, \omega _{i}\in \{0,\, 1\}\right\},\qquad \mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega ),$$
     wobei $P$ das Produktmaß auf $\mathcal{F}$ ist, für das gilt: $P(\{\omega\}) =\prod\limits^{n}_{i=1}P _{i}(\{ \omega_{i}\})$.
   • Sei $\omega=(\omega_1,\ldots,\omega_n)\in\Omega$ ein beliebiges Elementarereignis. Dann gilt
     $$P(\{\omega\})=\prod_{i:\omega_i=1}a_{i}\prod_{j:\omega_j=0}(1-a_j)$$

   • Für $\omega \in \Omega$ mit $\vert\{i:\omega_i=1\}\vert=k$ und $a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{n}=p$ gilt dann insbesondere
     $$P(\{\omega\})=p^k(1-p)^{n-k}\,.$$

   • Deuten ,,1'' als Erfolg und ,,0'' als Misserfolg.
   • Sei $X=$ Anzahl der Erfolge bei $n$ Versuchen. Falls $a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{n}=p$, dann gilt
     $$P(X=k)={n\choose k} p^k(1-p)^{n-k}\qquad \forall k=0,1,\ldots,n.$$

   • Sprechweise: $X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n$ und $p$.
   • Spezialfall: Falls $n=1$, dann sagen wir, dass $X$ Bernoulli-verteilt ist.